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exercice sur les dérivations
Bonjour,j'aimerai de l'aide sur un exercice de mathématiques que je n'ai pas vraiment compris sur les dérivations : '' Une entreprise artisanale fabrique et vend entre 0 et 120 crèmes pour le visage par semaine. Elle évalue le coût total de la production, en euros, de q crèmes à : Ct(q)= 0.001q^3 + 5q + 250
La courbe représentative de la fonction Ct est donnée dans le repère ci-contre.
On désigne par Cm(q) le coût moyen de production (en euros) de q crèmes.
On rappelle que le coût moyen de producyion de q crèmes est donné par : Cm(q)= Ct(q)/q
(pour toute valeur de q non nulle)
1a) A l'aide du graphique précédent et avec la précision permise,lire Ct(20)
En déduire alors Cm(20)
b) On considère que le point A d'abscisse 20 appartenant à la courbe de la fonction Ct.
Calculer l'ordonnée du point A puis en déduire le coefficient directeur de la droit (OA).
Comparer le résultat obtenu à celui obtenu à celui de la question précédente.
c) En déduire alors,par lecture graphique,le nombre de crèmes à produire et à vendre pour que le coût moyen de la production soit minimal. Justifier succinctement votre réponse.
2) Donner l'expression de Cm(q) en fonction de q (pour q ∈ ]0;120])
b) Donner Cm'(q) (où Cm' est la fonction dérivée de Cm) et montrer que :
Cm'(q)= ((q-50)x(0.002q² + 0.1q + 5))/q²
c) Étudier les variations de la fonction Cm sur l'intervalle ]0;120].
d) En deduire le nombre de crèmes à produire (et à vendre) pour que le coût moyen de production de l'entreprise soit minimal. Calculer alors le coût total de production. ''
pour la question 1a,avec le graphique,j'ai trouvé environ 350, j'ai donc trouvé Cm(q) en faisant (350/20) ce qui m'a donné 17.5.
Pour la question b, j'ai calculé Ct(20) qui m'a donné 358, et j'ai donc calculé le coefficient directeur avec la formule (yb-ya)/(xb-xa) en prenant des points de la courbe,j'ai donc pris 70 et 1250 et j'ai trouvé 17 pour le coefficient directeur. Je ne vois donc pas comment comparer ces deux résultats ensemble,à part qu'ils sont à peu près égaux. La question c me pose aussi problème car je ne sais pas ou regarder sur le graphique pour donner la réponse. Merci de votre aide.
Bonjour titi173,
1a) A l'aide du graphique précédent et avec la précision permise,lire Ct(20)
En déduire alors Cm(20) 
350 et 17,5 , c'est bon .
b) On considère que le point A d'abscisse 20 appartenant à la courbe de la fonction Ct.
Calculer l'ordonnée du point A puis en déduire le coefficient directeur de la droite (OA).
358 , c'est juste .
Ensuite pour calculer le coefficient directeur de (OA) , on prendra (yA-yO)/(xA-xO)= 358/20 , ce qui est le même calcul qu'à la question précédente .
c) En déduire alors,par lecture graphique,le nombre de crèmes à produire et à vendre pour que le coût moyen de la production soit minimal. Justifier succinctement votre réponse.
Tu as pu voir à la question b) que le coût moyen pour m crèmes produites était le coefficient directeur de la droite (OM) ( M étant le point de coordonnées (m;Ct(m))
Or , tu souhaites un coût moyen minimal , donc il suffira de chercher la droite (OM) ayant la plus petite "pente"
Merci pour votre réponse, pour la question 2a, j'ai fait Cm(q)= (0.001q^3+5q+250)/q
pour la question B j'utilise la formule CM'(q)=(u'v-uv')/v² avec u'=0.003q²+5 et v'= 1
en faisant le calcul j'obtiens CM'(q)= (0.002q^3-250)/q² et soit j'ai fait une erreur de calcul mais j'ai retenté de le faire et je ne vois pas ou est mon erreur,soit je n'arrive pas à trouver ce qui rassemble ces deux dérivées Cm'(q), pouvez vous tenter de m'expliquer ou est mon erreur s'il vous plaît?
Ton résultat est tout à fait correct , et correspond aussi à ce que tu dois trouver .
((q-50)x(0.002q² + 0.1q + 5))/q² est simplement la forme factorisée de ton expression , et permet d'étudier facilement son signe et les valeurs qui l'annulent .
La deuxième partie sert donc à calculer ce que j'ai fait dans ma première partie?
pour la question 2c, il faut donc faire le delta? en sachant que q² est toujours positif et qu'il ne peut pas être égal à 0.
Le signe de (q-50)x(0.002q² + 0.1q + 5) est facile à étudier .
0.002q² + 0.1q + 5 est un trinôme qui ne s'annule jamais , et est toujours positif
q-50 s'annule en 50 , négatif pour q < 50 et positif pour q > 50
Donc ta fonction Cm(q) sera d'abord décroissante , puis croissante
Dans le tableau de variation , tu verras le nombre de crèmes à fabriquer pour un prix moyen minimal .
Ceci correspondra aussi à la partie 1
de 0.002q² + 0.1q + 5 ; tu constateras qu'il est négatif 
Merci beaucoup! mais comment trouver le coût total de la production? est-ce par rapport à la fonction du début Ct(q)=0.001q^3 + 5q + 250 ?
d) En déduire le nombre de crèmes à produire (et à vendre) pour que le coût moyen de production de l'entreprise soit minimal. Calculer alors le coût total de production
Le nombre de crèmes est évidemment 50 .
Pour le coût total pour 50 crèmes , il suffit de calculer Ct(50)
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