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Exercice sur les équations différentielles

Posté par
leonard
02-01-12 à 11:35

Bonjour,

J'ai un exercice à faire, le problème c'est que je bloque totalement pour la quasi totalité des questions. si vous pouviez me donner des pistes pour le finir ça serait sympa

Voici l'énoncé :

***
* Océane > leonard si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum. *


J'ai juste réussi la question 1) de la partie B,lme reste je vois pas du tout ...

Merci d'avance aux futures aides

Posté par
leonard
re : Exercice sur les équations différentielles 02-01-12 à 11:54

Je pensais que ça aurait été plus "clair", mais pas de problème.

Alors voici l'énoncé :

On note (E) l'équation différentielle y ' ' = -²y où désigne un réel non nul.
On note S l'ensemble des solutions sur de (E), et E = {u : x a.cos(x) + b.sin(ω x) ; a, b}

A/- Soit uE. Montrer que uS et que par conséquent ES.


B/- 1°) Soit gS.
a) Montrer que la fonction h, définie par h = ω²g² + (g')², est une fonction constante sur .
b) Montrer que si g vérifie g(0) = g'(0) = 0 alors h et g sont toutes les deux la fonction nulle.

2°) Soit fS.
a) Soit la fonction g définie sur par g(x) = f(x)- f(o)cos(x) - (f'(0) / )*cos(x)
Montrer que g est solution de (E) puis calculer g(0) et g'(0). Qu'en déduit pour g ?
b) En déduire que fE et que par conséquent SE.


C/- 1°) Soit et deux réels.
Montrer qu'il existe une unique solution de (E), notée f, vérifiant la condition initiale f(0) = et f'(0) = β
2°) Déterminer la fonction f solution sur  de  y ' ' = -5y, telle que f(0) = 50 et f'(0) = 10.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Exercice sur les équations différentielles 02-01-12 à 16:07

Bonjour,

1) u(x)=a\,\cos\,\omega x+b\,\sin\,\omega x

u'(x)=-a\omega\,\sin\,\omega x+b\omega\,\cos\,\omega x

u''(x)=-a\omega^2\,\cos\,\omega x-b\omega^2\,\sin\,\omega x

u''(x)=-\omega^2(a\,\cos\,\omega x+b\,\sin\,\omega x)=-\omega^2\,u(x)

Donc si u\in E alors u\in S

E\subset S

C' est un début...

Posté par
leonard
re : Exercice sur les équations différentielles 02-01-12 à 18:06

Merci beaucoup !

En fait je cherchais trop loin, sans même avoir penser à dérivé ...

Posté par
cailloux Correcteur
re : Exercice sur les équations différentielles 03-01-12 à 17:22

B)1)a) h=\omega^2g^2+g'^2

h est dérivable sur \mathbb{R} puisque g, solution de (E), est 2 fois dérivable sur \mathbb{R}:

h'=2\omega^2gg'+2g'g''

h'=2\omega^2gg'-2\omega^2gg'=0 puis que g''=-\omega^2g

Donc h est constante sur \mathbb{R}

1)b) Si g(0)=g'(0)=0:

Alors h(0)=\omega^2g^2(0)+g'(0)=0

Et comme h est constante, h est donc la fonction nulle.

Du coup, g'^2(x)+\omega^2g^2(x)=0 pour tout x réel.

Donc g'(x)=0 et g(x)=0 pour tout x réel.

Autrement dit, g est aussi la fonction nulle.

2)a) Je crois qu' il y une erreur dans ton énoncé:

g(x)=f(x)-f(0)\,\cos\,\omega x -\dfrac{f'(0)}{\omega}\,\sin\,\omega x

g'(x)=f'(x)+\omega f(0)\,\sin\,\omega x-f'(0)\,\cos\,\omega x

g''(x)=f''(x)+\omega^2f(0)\,\cos\,\omega x+\omega f'(0)\,\sin\,\omega x

On a: g''(x)+\omega^2 g(x)=f''(x)+\omega^2f(x)=0 car f\in S

Donc g\in S

g(0)=f(0)-f(0)=0

g'(0)=f'(0)-f'(0)=0

On en déduit que g est la fonction nulle d' après B)1)

2)b) g(x)=0 donc f(x)=f(0)\,\cos\,\omega x +\dfrac{f'(0)}{\omega}\,\sin\,\omega x

et f\in E donc S\subset E

Conclusion: S=E

C)1) f(x)= a\,\cos\,\omega x+b\,\sin\,\omega x

f'(x)=-a\omega \,\sin\,\omega x+b\omega \cos\,\omega x

f(0)=\alpha \Longrightarrow a=\alpha

f'(0)=\beta \Longrightarrow b=\dfrac{\beta}{\omega}

f(x)=\alpha\,\cos\,\omega x+\dfrac{\beta}{\omega}\,\sin\,\omega x

2) Une application; on trouve:

f(x)=50\,\cos\,x\sqrt{5}+2\sqrt{5}\,\sin\,x\sqrt{5}



Posté par
leonard
re : Exercice sur les équations différentielles 03-01-12 à 18:57

Merci beaucoup Cailloux

Il y a juste un truc que je n'ai pas compris :

comment passes tu de g''(x) = ....

à g''(x) + w²g(x) = f''(x) + w²f(x) ?

(et oui en effet dans l'énoncé j'ai confondu un sin avec un cos)

Posté par
cailloux Correcteur
re : Exercice sur les équations différentielles 03-01-12 à 22:18

g''(x)=f''(x)+\omega^2f(0)\,\cos\,\omega x+\omega f'(0)\,\sin\,\omega x

g(x)=f(x)-f(0)\,\cos\,\omega x -\dfrac{f'(0)}{\omega}\,\sin\,\omega x

On multiplie la seconde équation par \omega^2

\omega^2g(x)=\omega^2f(x)-\omega^2f(0)\,cos\,\omega x-\omega f'(0)\,\sin\,\omega x

Et on ajoute cette dernière membre à membre à la première équation.

Les cosinus et les sinus s' annullent...

Posté par
leonard
re : Exercice sur les équations différentielles 03-01-12 à 23:03

Merci beaucoup pour toute ton aide

Posté par
cailloux Correcteur
re : Exercice sur les équations différentielles 04-01-12 à 00:08

De rien leonard



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