Bonjour,
J'ai un exercice à faire, le problème c'est que je bloque totalement pour la quasi totalité des questions. si vous pouviez me donner des pistes pour le finir ça serait sympa
Voici l'énoncé :
***
* Océane > leonard si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum. *
J'ai juste réussi la question 1) de la partie B,lme reste je vois pas du tout ...
Merci d'avance aux futures aides
Je pensais que ça aurait été plus "clair", mais pas de problème.
Alors voici l'énoncé :
On note (E) l'équation différentielle y ' ' = -²y où
désigne un réel non nul.
On note S l'ensemble des solutions sur de (E), et E = {u : x
a.cos(
x) + b.sin(ω
x) ; a, b
}
A/- Soit uE. Montrer que u
S et que par conséquent E
S.
B/- 1°) Soit gS.
a) Montrer que la fonction h, définie par h = ω²g² + (g')², est une fonction constante sur .
b) Montrer que si g vérifie g(0) = g'(0) = 0 alors h et g sont toutes les deux la fonction nulle.
2°) Soit fS.
a) Soit la fonction g définie sur par g(x) = f(x)- f(o)cos(
x) - (f'(0) /
)*cos(
x)
Montrer que g est solution de (E) puis calculer g(0) et g'(0). Qu'en déduit pour g ?
b) En déduire que fE et que par conséquent S
E.
C/- 1°) Soit et
deux réels.
Montrer qu'il existe une unique solution de (E), notée f, vérifiant la condition initiale f(0) = et f'(0) = β
2°) Déterminer la fonction f solution sur de y ' ' = -5y, telle que f(0) = 50 et f'(0) = 10.
B)1)a)
est dérivable sur
puisque
, solution de
, est 2 fois dérivable sur
:
puis que
Donc est constante sur
1)b) Si :
Alors
Et comme est constante,
est donc la fonction nulle.
Du coup, pour tout
réel.
Donc et
pour tout
réel.
Autrement dit, est aussi la fonction nulle.
2)a) Je crois qu' il y une erreur dans ton énoncé:
On a: car
Donc
On en déduit que est la fonction nulle d' après B)1)
2)b) donc
et donc
Conclusion:
C)1)
2) Une application; on trouve:
Merci beaucoup Cailloux
Il y a juste un truc que je n'ai pas compris :
comment passes tu de g''(x) = ....
à g''(x) + w²g(x) = f''(x) + w²f(x) ?
(et oui en effet dans l'énoncé j'ai confondu un sin avec un cos)
On multiplie la seconde équation par
Et on ajoute cette dernière membre à membre à la première équation.
Les cosinus et les sinus s' annullent...
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