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Exercice sur les exponentiels dans un repère ... [aidez moi svp
bonjours j'aimerai avoir de l'aide pour pouvoir faire mon exercice, merci d'avance.
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;i;j)
1. on designe par C la courbe représentative de la fonction exponentielle x -> e(x). pour tout point M d'abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t;0) et le point N, point d'intersection de la tengante en M à C avec l'axe des abscisses. Montrer que la distance PN est constante.
2. Dans la suite de l'exercice, f designe une fonction definie sur R, strictement positive et derivable et dont la derivée est strictement positive. Pour tout point M d'abscisse t appartenant à la courbe representative de f, on considère le point P de coordonnée (t;0) et le point N, point d'intersection de la tengante en M à la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses.
a. calculer la distance PN en fonction de f(t) et f'(t)
b. determiner une équation différentielle (Ek) vérifiée par les fonctions f definies sur R, strictements positives et dont la derivée est strictemetn positive pour laquelle la distance PN est une constante K.
c. Determiner toutes les fonction f solutions de (Ek).
Merci d'avance pour votre aide, parce que je bloque completemetn sur cet exercice est ce que quelqu'un ou plusieurs personnes pouraient m'aider je leur en seraient reconnaissant.
merci
salut.
on veut montrer que PN est constante.
comment faire ? on la calcule et on regarde si elle ne depend pas de t.
P(t,0)
reste N.
N est sur la tangente en M.
M(t,e^t)
equation de la tangente en M y=f'(t)*(x-t)+f(t)
y=e^t*(x-t)+e^t
or N(xN,yN) est sur l'axe des abscisses donc yN=0
comme les coordonnees de N verfie l'equation de la tangente : 0=e^t*(xN-t)+e^t donc xN=t-1
donc N(t-1,0) et P(t,0)
donc PN=1.
2a) cas general de 1. M(t,f(t))
equation de la tangente a C en M : y=f'(t)*(x-t)+f(t)
N est sur l'axe des abscisses donc yN=0
N est sur la tangente donc ses coordonnees verifient l'equation de la tangente.
0=f'(t)*(xN-t)+f(t)
-f(t)/f'(t)=xN-t car f' est strictement positive donc non nulle.
donc xN=t-f(t)/f'(t)
N(t-f(t)/f'(t),0) et P(t,0)
donc PN=|f(t)/f'(t)|=f(t)/f'(t) car f et f' sont strictement positives.
b) PN=k
d'apres a) PN=f(t)/f'(t)
donc k=f(t)/f'(t)
on multiplie par f'(t) (qui est non nul) chacun des 2 membres de l'egalite et on a :
f(t)-k*f'(t)=0
reponse : y-k*y'=0.
c. (cours, si t'as vu les equations differentielles)
si on ne considere que cette equation differentielle
y=A*e^(t/k), A constante.
or ici ce sont des fonctions strictement positives
donc y=A*e^(t/k), A constante NON NULLE ET POSITIVE.
remarque :
la fonction trouvée en 1 fait bien partie de E1.
si on prend A=k=1 on la retrouve dans notre resultat.
a+
Bonjour,
Je vous propose un plan pour la question 2a.
- P(t;O)
- Equation de la tangente à Cf en x=t :
y = f '(t)*(x-t) + f(t)
- Coordonnées de N :
yN = 0
yN = f '(t)*(xN-t) + f(t) car N est sur la tangente.
D'où xN = t - f(t)/f '(t).
Ensuite, comme le repère est orthonormé, on applique la formule AB = 
[(xB-xA)²+(yB-yA)²].
Je vous laisse rédiger cette question complètement.
Une fois que vous l'aurez fait, vous pourrez l'adapter pour la fonction exponentielle et donc faire la question 1.
2b. Pour k > 0, l'équation différentielle est: f(t)/f '(t) = k.
Ou encore f '(t) - (1/k) * f(t) = 0
2c. Solution générale : f(t) = A * et/k
Bon travail.
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