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exercice sur les limites
bonjour,
pourriez-vous m'aider à faire un exercice (je n'y arrive pas) que je dois rendre mercredi prochain. Malgrès mes efforts sur la recherche, je n'y arrive vraiment pas. Pourriez vous agir rapidement.
-Il me demande de montrer que si une fonction f admet une limite l strictement positive en 0 alors il existe un reel sigma strictement positif tel que, quel que soit le réel x verifiant 0 < valeur absolue de x < sigma, on ait f(x)>0
-Et pourriez vous m'aider aussi à la question: une fonction strictement positive admet-elle nécessairement une limite strictement positive ?
Avec mes remerciements
Bonjour,
La 1) résulte directement de la définition. Par exemple :
Si f admet une limite L > 0 en 0, alors il existe sigma tel que -sigma < x < sigma entraîne L-L/2 < f(x) < L+L/2, et donc 0 < |x| < sigma entraîne f(x) > L/2 > 0
Pour la 2) la question est très mal posée, la réponse dépend des propriétés de f et du domaine de définition.
Par exemple, si f est continue et le domaine est [a;b], a et b réels, alors f admet une limite strictement positive en tout point du domaine.
En revanche, pour D = [1 ; +oo[, et f(x) = 1/x, alors f est strictement positive sur D et admet une limite 0 en +oo.
Merci pour votre aide.
Pour votre exemple de la question 2: pour D = [1 ; +oo[, et f(x) = 1/x, alors la fonction est strictement positif sur D comme vous l'avez dit.
J'interprete cela par le fait que la limite de la fonction est egal a 0+.
Donc, d'après moi une fonction strictement positive admet nécessairement une limite strictement positive.
Ma question est la suivante dois-je conclure par :
une fonction strictement positive admet nécessairement une limite strictement positive (en considérant pour notre exemple que la limite de f est 0+ donc est positif).
ou : dois-je dire que d'après notre exemple la limite de certaine fonction est egal a 0 ?
Merci,
La limite de 1/x en +oo est bien 0, l'écriture 0+ signifie que le 0 est atteint par valeurs supérieures, donc ici par valeurs positives.
Donc une fonction strictement positive peut admettre une limite nulle.
C'est pareil pur la suite de terme général 1/n : tous les termes sont > 0, la limite existe, et elle vaut 0.
désolé mais en quoi la question : une fonction strictement positive admet-elle nécessairement une limite strictement positive ? est mal posée
J'ai déjà répondu en détail à cette question dans mon tout premier post, je t'invite à le relire attentivement.
Selon moi, Une fonction n'est correctement définie que lorsqu'on précise son domaine de définition.
Par exemple, la fonction 1/x sur [1;2] n'est pas la même que 1/x sur [1;+oo[
Et précisément, 1/x définie sur [1;2] est partout > 0, et admet en tout point de [1;2] une limite > 0
Alors que 1/x définie sur [1;+oo[ est partout > 0, admet en tout point fini une limite > 0, mais a en +oo une limite 0
Autre exemple, encore plus simple, la fonction x est > 0 sur ]0;1], mais elle admet la limite 0 en 0
Les mathématiques sont très exigeantes en précision...
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