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Exercice sur les matrices
Bonjour,
je bloque sur un exercice des matrices. Voici une partie de l'exercice:
Soit A une matrice: A= ( 2 -1 3)
(-3 1 -1)
( 1 1 1)
Question 4. Vérifier que la matrice A3 s'écrit: a3I3+b3A+c3A², où a3 , b3 et c3 sont des réels à déterminer.
Question 5. Vérifier que la matrice A4 s'écrit: a4I3+b4A+c4A², où a4 , b4 et c4 sont des réels à déterminer.
Question 6: Etablir que pour tout entier naturel n non nul, la matrice An s'écrit sous la forme anI3+bnA+cnA² où les suites (an), (bn) et (cn) sont telles que, pour tout entier naturel non nul n, on a:
an+1=-10cn, bn+1=an et cn+1=bn+4cn.
J'ai réussis les question 4 et 5: pour la 4, j'ai trouvé b3=0 c3=4 a3=10, et pour la 5 j'ai trouvé: b4=-10 c4=16 et a4=-40.
Pour la question 6, je ne sais vraiment pas comment m'y prendre au niveau de la méthode. Au début, je pensais faire:
On a A3=a3I3+b3A+c3A², A4=a4I3+b4A+c4A², donc on peut supposer que A5=a5I3+b5A+c5A², et ainsi de suite. Et de part en part, on pourrait déduire que An=anI3+bnA+cnA². Mais je pense que je n'y suis pas du tout. De plus, je n'ai aucune idée de comment faire pour déterminer les égalités ci-dessus des suites (an), (cn) et (bn).
Merci d'avance de votre aide!
Salut, tu as écrit et pourtant
, il faudrait savoir quel est le bon signe.
Pour la question 6, tu peux procéder par récurrence. L'hypothèse de récurrence serait "Au rang , on a
".
Ensuite, et là il faut bien-sûr utiliser le calcul de la question 4.
Pour finir, en regroupant les termes et
selon les puissances de A, tu obtiendras naturellement les expressions de
et
Merci beaucoup, ça m'aide beaucoup! 
Oui, j'ai oublié le signe "-" de a3: a3= -10
La récurrence fonctionne, mais le problème c'est que je ne vois pas comment démarrer à l'initialisation... on prend n=1, on a A1=la matrice A, mais pour vérifier l'expression A1=a1I3+b1A+c1A², il nous faudrait les valeurs de a1, b1et c1.
Sinon, on pourrait les déduire de la formule, donc ça donnerait a1=0, c1=0 et b1=1. Mais je pense pas qu'on ai le droit de faire ça...
Merci de votre aide!
Pour l'initialisation, tu peux même démarrer à : tu poses alors
,
et
.
Les formules donnant ,
et
fonctionnent alors très bien, tu peux vérifier par toi-même pour
,
et
à partir des conditions que j'ai posées au rang zéro.
En fait, on est obligé de poser les valeurs de a, b et c à un certain rang, puisque comme tu l'as remarqué on a toujours besoin du rang précédent quand on les calcule.
Ce que tu proposais au rang 1 est aussi valable (si on commence la récurrence au rang 1), en appliquant les formules de récurrences à ce que j'ai posé pour le rang zéro, on retrouve tes valeurs au rang 1.
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