Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie. Un
individu sain est un individu qui n'a jamais été touché
par la maladie. Un individu malade est un individu
atteint par la maladie et non guéri. Un individu immunisé est un individu qui a été touché par la maladie, mais qui est guéri et qui ne pourra plus être malade.
Des observations ont montré que d'un mois sur l'autre
5 % des individus tombent malades et 30 % guérissent.
Pour tout entier naturel n, on note
an la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans la population soit sain n mois après le début de l'étude, bn celle qu'il soit malade et cn celle qu'il soit guéri. Au début de l'étude, on suppose que tous les individus sont sains c'est-à-dire a0=1.
1. Calculer a1, b1et c1.
2. Pour tout entier naturel n, on pose Ln= (an bn cn).
Justifier que pour tout entier naturel n, Ln+1= Ln * ( 0,95 0,05 0 )
( 0,7 0,30 0 )
( 0 0 1)
3. a. Exprimer an en fonction de n.
b. Vérifier que la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un= bn−1/5an est géométrique.
En déduire l'expression de bn en fonction de n.
c. Exprimer cn en fonction de n.
4. Que peut-on dire de l'évolution de la maladie à long
terme ?
5.a Écrire un algorithme qui renvoie le nombre de mois nécessaires pour qu'au moins 99% de la population soit immunisé contre la maladie.
b.Programmer en Python et donner la valeur renvoyée.
J'ai globalement réussi l'exercice, il me faudrait de l'aide pour la 3.c cad exprimer cn en fonction de n.
Et aussi pour l'algorithme, si vous avez des idées ou algo similaires qui fonctionnent je suis preneur.
Merci...
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