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Exercice sur les nombres premiers, amiables et parfaits.
Bien le bonjour à tous 
Je suis en terminale S spécialité Maths mais j'ai quelques difficultées en spécialité, j'essaye donc de m'entrainer pour un D.S plutôt proche mais je bloque sur cet exercice que l'on nous donne comme entrainement :s :
1.a. Soit k un entier naturel, montrer que 4k+1-1 est divisible par 3.
b. En déduire que si n est impair et n
3 alors 2n+1-1 n'est pas premier.
2.a. On appelle diviseur strict d'un entier naturel tout diviseur autre que le nombre lui-même.
Déterminer les entiers naturels diviseurs stricts de 220 et 284.
b. On appelle nombre amiables deux entiers naturels tels que chacun d'eux soit égal à la somme des entiers naturels diviseurs stricts de l'autre. Vérifier que 220 et 284 sont amiables.
c. On appelle nombre parfait un nombre égal à la somme de ses diviseurs stricts (amiables avec lui-même).
Vérifier que 28 est parfait.
3.a. Soit n
, montrer que la somme des diviseurs stricts de 2n+1 est 2n+1-1.
b. Dorénavant p désigne un nombre premier. On cherche p tel que que 16p=24p soit parfait.
Peut-on avoir p=2 ?
c. Montrer que si p
2, alors la somme des diviseurs stricts de 24p est 15p+31.
En déduire que le seul entier p premier tel que le nombre 24p soit parfait est 31.
4. Plus généralement, soit n et p deux entiers naturels, p étant premier; Cherchons une conditions nécessaire sur p pour que 2np soit parfait, ceci afin d'en déduire la liste de nombres parfaits de cette forme pour n<10.
a. Si p3, calculer en fonction de p et n la somme des diviseurs stricts de 2np.
En déduire que si 2np est parfait alors nécessairement p=2n+1-1.
b. Donner la liste des nombres parfaits du type 2np si n<10.
Voila voila je vous serai très reconnaissant si vous acceptiez de m'aider
Et merci à tous.
Salut
1) 4
1[3] donc 4k+11k+1[3] (k+12)
Si n est impair alors n+1 est pair donc n+1=2k' donc2n+1=22k'=4k' (avec k'2)
2) 220=2*2*5*11 donc la somme des diviseurs vaut (1+2+22)(1+5)(1+11)=12*6*7=504 (si mon enleve 220 des diviseurs ca fait 284)
284=2*2*71 donc la somme des diviseurs vaut (1+2+22)(1+71)=72*7=504 (si on enleve 284 des diviseurs ca fait 220)
28=2*2*7 donc la somme de ses diviseurs (lui-meme compris) vaut (1+2+22)(1+7)=56
Merci beacoup dami22sui grâce à toi j'y vois plus claire, cependant j'ai du mal sur la fin de cet exercice, si quelqu'un s'y connait bien j'accepterai volontier ses réponses
Merci encore.
p allant de 1 à n , on addditionne par la formules des suites geo c'est
;
donne en developpant sans reduire tous les diviseurs de 16p qu'on additionne
donc 31*(1+p)=32p donc p=31
p allant de 1 à n , on addditionne par la formules des suites geo c'est
;
donne en developpant sans reduire tous les diviseurs de 16p qu'on additionne
donc 31*(1+p)=32p donc p=31
zut j'ai avale deux questions 3)b) si p=2 alors N=2^5 donc 2^5=2^5-1...ca ne vas pas
3) b) tu as 1+p+2+2p+4+4p+8+8p+16 qui est la somme des diviseurs stricts de N c'est 15p+31,et si N est parfait 15p+31=16p donc p=31
zut j'ai avale deux questions 3)b) si p=2 alors N=2^5 donc 2^5=2^5-1...ca ne vas pas
3) c)si p different de 2 et premier ;
tu as 1+p+2+2p+4+4p+8+8p+16 qui est la somme des diviseurs stricts de N c'est 15p+31,et si N est parfait 15p+31=16p donc p=31
4) a) la liste des diviseurs c'eston les additionne en mettant (1+p) en facteurs
donc
on devloppe:
donc
as parfait car 15 non premier
n=4 2^4*31 deja vu parfait
n=5 2^5*63 pas parfait 63 pas premier
n=6 2^6*127 parfait
n=7 2^7*255 pas parfait 255 pas premier
n=8 2^8*511 pas parfait 511 pas premier
n=9 2^9*1023 pas parfait 1023 pas premier
n=10 2^10*2047 pas parfait 2047 pas premier
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