Bonjour.
J'ai du mal avec lexo suivant:

Soit p un nombre premier.

On pose Gp={z appartenant a C/ il existe K appartenant a N, z^(p^k)=1}

1-Montrer que Gp est un sous groupe de C.
2-Montrer que les sous-groupes propres de Gp sont cycliques et qu'aucun d'eux n'est maximal au sens de l'inclusion.
3-Montrer que Gp n'est pas engendré par un nombre fini d'éléments.

*** message déplacé ***

Bonjour.

1°) On constate que G_p est non vide et qu'il ne contient que des éléments de module 1.



Alors, la démonstration revient à prouver la stabilité des éléments du type par soustraction.

A plus RR.

*** message déplacé ***

bonjour raymond.

Merci pour ta reponse. Mais tu n'aurais pas des idées pour la question 2?

*** message déplacé ***

Je vais chercher ...

A plus RR.

*** message déplacé ***

Tout sous-groupe fini de  K*  où  K  est un corps (commutatif) est cyclique.
Ca dépend ce que tu connais sur les groupes cycliques.

*** message déplacé ***

bonjour lolo

ben c est que au fait je ne connais pas grand chose des groupes cycliques.

*** message déplacé ***

-> c-jay7,
Merci de respecter les règles du forum. Le multi-post n'y est pas toléré
Si tu penses que ton exercice est parti dans les profondeurs du forum, poste un petit message dans ton topic, il remontera parmi les premiers.

Voilà :  si  G  est un sous-groupe de K*  et possède  n éléments alors  G  est inclu dans les racines du polynôme  X^n -1 . Comme ce polynome possède au plus  n  racines  G  est exactement l'ensemble de ces racines.

Cela étant  si  x  dans  G est d'ordre  d/n  alors  x^d=1 et par le même raisonnement il y a au plus  phi(d)  éléments d'ordre  d  dans  G (rien ne dis que  x  existe !).
OR , n = Somme_d/n  phi(d) >=  Somme_d/n (nombre d'éléments de G d'ordre d)= n
et je te laisse conclure .

Bonjour, c-jay7 et lolo217.

L'idée de lolo217 ne permet pas de répondre complètement à la question b). Il aurait fallu démontrer auparavant que les sous-groupes propres de Gp sont finis.

Voici une démonstration de la question b, n'utilisant pas le résultat rappelé par lolo217.

Remarquons d'abord que tout élément x de Gp est d'ordre fini. Plus précisément, il existe k tel que x^(p^k)=1. L'ordre de cet élément divise donc p^k et est donc de la forme p^a, avec a inférieur ou égal à k.


Soit H un sous-groupe de Gp.

Supposons dans un premier temps que H soit fini. Alors, tout élément de H est d'ordre fini. Soit p^k l'ordre maximal d'un élément de H, et considérons x élément de H d'ordre p^k. x est alors un générateur du groupe des racines p^k-ièmes de l'unité (c-jay7, relis bien ton cours de Spé sur ce sujet). H contient donc le sous-groupe des racines p^k-ièmes de l'unité.
Tout autre élément de H est d'ordre p^a, avec a inférieur ou égal à k, et est donc dans le groupe des racines p^k-ièmes de l'unité.
H est donc égal au groupe des racines p^k-ièmes de l'unité (et il est donc cyclique).


Maintenant, que se passe-t-il si H est infini? L'ensemble des ordres des éléments de H est alors infini (sinon, H serait inclus dans le groupe des racines p^k-ièmes de l'unité, où p^k est l'ordre maximal d'un élément de H). Prenons k dans N (quelconque). Il existe un élément y de H dont l'ordre est supérieur à p^k, par exemple p^b, avec b supérieur ou égal à k. Mais alors, le sous-groupe engendré par y contient le groupe des racines p^b-ièmes de l'unité et par conséquent le groupe des racines p^k-ièmes de l'unité.
On vient de démontrer que, pour tout k, le groupe des racines p^k-ièmes de l'unité est inclus dans H, ce qui prouve que H est égal à Gp. H n'est pas un sous-groupe propre de Gp.

C-jay7, je pense que tu n'auras pas de mal maintenant à traiter le reste des questions. Ton exercice m'a beaucoup intéressé.
@ +

merci perroquet. Tres jolie demo en passant.

bonsoir lolo.

Je narrive pas a comprendre ta demonstration. Ca ne te derangerais pas de la detailler? Merci