Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Exercice sur les polynomes mêlés aux sommes direct
Bonsoir,
je bloque sur un problème qui touche les polynomes.
Soit P et Q deux polynomes tel que : P(f) = sigma(k=0 ... d) (ak*f^k)
on définit de même le polynome Q(f).
Montrer que si P et Q sont premier entre eux alors Ker(P(f)) et Ker(Q(f)) sont en somme direct.
Merci d'avance pour votre aide 
dit relation de bezout, c'est a dire qu'il existe A et B tel que AP+ BQ = 1... Mais je l'ai retourné dans tous les sens et je n'y arrive pas !!!!
Merciii Kaiser pour ton indication, donc en appliquant f, j'obtient
A(f)P(f) + B(f)Q(f) = Id
je me fixe un y qui appartient à l'intersection des deux ker, et en l'appliquant à l'égalité je conclus. Merci encore
Tu pourrais m'aider sur deux questions qui suivent ?
J'ai montré que
Ker(P(f)) + Ker(Q(f)) inclus Ker(PQ(f))
avec la question sur laquelle tu m'as aidé on me demande de démontrer que
ker(PQ(f)) = Ker(P(f)) + Ker(Q(f)) en dimension finie
Le + est bien sur entouré !
Faut il que j'utilise un argument de dimension ou une inclusion inverse ?
C'est bizarre que l'on se place en dimension finie car ce résultat est valable tout le temps, donc je te propose de montrer l'inclusion inverse.
Kaiser
Il n'y pas de composée de polynôme, uniquement des produits de polynômes. Cependant, en appliquant f, on a affaire à la composée de deux polynômes en f qui commutent (car f commute avec lui même).
Kaiser
je me fixe x dans l'intersection des deux:
j'aboutit par Bezout à
AP²(f(x)) + BQ²(f(x)) = P(f(x)) + Q(f(x))
Cela me permet il de conclure par un argument de degré ?
pourquoi dans l'intersection des 2 ?
Autre chose (souci de notation) : l'écriture P(f(x)) n'as pas de sens. IL faut en fait écrire (P(f))(x).
Kaiser
mais si je montre que P(f)(x) + Q(f)(x) = 0 c'est gagné !
Or je me retrouve avec un polynome de degré supérieur a b=max(deg(P);deg(Q)) avec un autre qui est égal a deg(P), donc forcément il est nul !! Qu'en penses tu ?
Ok donc l'argument de degré ne tient qu'avec les polynomes...
Donc l'égalité que j'avais obtenus ne sert a rien ?
Non je proposais de faire de composer d'abord par P(f)
j'obtient (pour abrégé)
AP² = P(x)
Puis
BQ² = Q(x)
Puis je sommme ... Mais je pense à autre chose ... la division de A par Q et B par P ... Mais je vois pas vraiment l'issue ...
tu a écrit x comme somme de deux trucs.
Est-ce que par hasard ces deux trucs ne seraient pas dans Ker(P(f)) et Ker(Q(f)) ?
Kaiser
Mais au départ on est partit sur le fait qu'on voulait démontrer que
Ker(PQ) inclus dans KerP + KerQ... Ici on a démontré qu'ils sont en somme !!
Mais au départ on est partit sur le fait qu'on voulait démontrer que
Ker(PQ) inclus dans KerP + KerQ...
mais c'est ce qu'on est en train de faire.
Kaiser
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac