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Exercice sur les produits

Posté par
mok9093 17-09-19 à 23:14

Bonsoir puis je avoir svp des indications à propos la question 2 et 3 de cette exercice et merci

Exercice
1.Soit n de IN* on pose u(t)=t(1-t)^{n}. Montrer que u présente un maximum en un point que l'on déterminera. J'AI TROUVE QUE Max u(t)=\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}
2. Montre que si x_{1},...,x_{n}
sont n réels positifs tel que \sum_{k=1}^{n}{x_{k}}=1    alors \prod_{k=1}^{n}{x_{k}}\leq \frac{1}{n^{n}}
3. Montrer que pour tout x_{1},...,x_{n} de IR+  on a :\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}{x_{k}}}\leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{x_{k}}



ET Merci

Posté par
carpediemre : Exercice sur les produits 17-09-19 à 23:47

salut

tu nous donnes le maximum ... mais pas son lieu ...

Posté par
mok9093re : Exercice sur les produits 17-09-19 à 23:51

carpediem @ 17-09-2019 à 23:47

salut

tu nous donnes le maximum ... mais pas son lieu ...
je n'ai pas bien compris

Posté par
mok9093re : Exercice sur les produits 17-09-19 à 23:52

j'ai donné u(1/n+1)

Posté par
mok9093re : Exercice sur les produits 17-09-19 à 23:54

c'est bon j'ai compris ils ont demandé le point et pas l'image mais ce n'est pas grave je voudrais bien que vous m'aidez sur les 2 autres questions
Et Merci

Posté par
mok9093re : Exercice sur les produits 18-09-19 à 02:03

.

Posté par
mok9093re : Exercice sur les produits 18-09-19 à 16:10

.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice sur les produits 18-09-19 à 16:22

Bonjour,
Pour l'instant je ne vois pas pour 2).
As-tu vu de nouvelles inégalités en cours ?

Pour déduire 3) de 2), poser \; S = \sum_{k=1}^{n}{x_{k}} \; puis \; y_{i} = \dfrac{x_{i}}{S} \;.

Posté par
mok9093re : Exercice sur les produits 18-09-19 à 16:41

Non je n'ai vu aucune inégalité en cours juste des generalités sur les sommes et les produits.  
Merci pour votre réponse à propos la 3ème question mais où je vais employer ce yi?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice sur les produits 18-09-19 à 16:53

A quoi est égal la somme de ces yi ?

Posté par
mok9093re : Exercice sur les produits 18-09-19 à 16:59

Ca y est j'ai compris merci beaucoup pour votre aide. J'aimerais bien que vous m'aidez sur la 2eme question

Posté par
verdurinre : Exercice sur les produits 18-09-19 à 22:24

Bonsoir,
pour la deuxième question il est facile de voir que

0<x_2\leq1-x_1 \\ \qquad\vdots \\ 0<x_n\leq1-x_1

puis d'en déduire

\prod_{k=1}^{n}{x_{k}}\leq x_1(1-x_1)^{n-1}

Ensuite on utilise la première question.

Posté par
verdurinre : Exercice sur les produits 18-09-19 à 22:26

J'ai écris des bêtises.

Posté par
perroquetre : Exercice sur les produits 19-09-19 à 05:19

Bonjour à tous.

On peut démontrer la deuxième question par récurrence.

Le résultat demandé est évident pour n=1 .

Supposons que le résultat demandé soit vrai au rang n. Soit alors x_1,\ldots, x_{n+1} n+1 réels positifs dont la somme vaut 1.

Si x_{n+1}=1,  alors    \prod_{k=1}^{n+1} x_k = 0 \leq \dfrac{1}{(n+1)^{n+1}}

Dans tous les autres cas, en utilisant la première question et la propriété au rang n:

\prod_{k=1}^{n+1} x_k= x_{n+1} (1-x_{n+1})^n \ \prod_{k=1}^n \dfrac{x_k}{1-x_{n+1}} \leq \dfrac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \dfrac{1}{n^n}=\dfrac{1}{(n+1)^{n+1}}



Ceci dit, il était tellement plus simple d'utiliser la concavité de la fonction \ln mais pour cela, il faut connaitre les fonctions convexes  ...  

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exercice sur les produits 19-09-19 à 18:09


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