J'ai un peu de mal pour certaines questions  et pour d'autre je ne suis pas trop sur.
Enoncé :
On considère les suites u définies sur IN* par la relation de récurrence (E) : u_n+1=2u_n-(n+1), et par la donnée d'un premier terme u₁.
1). Calculer les quatre premiers termes de la suite u dans le cas où u₁=5.
2). On considère la suite v définie par v_n=n+2 pour tout entier naturel non nul.
a). Quelle est la nature de cette suite v? Justifier.
b). Démontrer que la suite v vérifie la relation de récurrence (E).
3). On considère la suite w défnie par w_n=u_n-v_n pour tout entier naturel non nul.
a). Démontrer que w est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b). Exprimer w_n puis u_n, en fonction de n et de u₁.
4). Un roi décide de distribuer à ses ministres une certaine quantité de pièces d'or. Il répartit ainsi les pièces : au premier ministre, il donne 5 pièces; au second, le double de ce qu'il a donné au premier ministre moins deux pièces; au troisuème, le double de ce qu'il a donné au deuxième ministre moins 3 pièces..... et ainsi de suite : il donne ainsi au n_ième ministre le double de ce qu'il a donné au précédent ministre moins n pièces.
Le vingtième ministre désire sa part sans attendre son tour. Quelle est sa part? Justifier.

Mes réponses :
1).
J'ai trouvé :
u₁=5
u₂=8
u₃=13
u₄=22

2).
a).Je dis que v_{[/sub] est une suite arithmétique car v est de la forme
v[sub]n}= v₀+nr d'où v₀=2 et r=1.
Mais je ne suis pas sur que ce soit une justification correcte.
b). Je ne vois pas ce qu'il faut quand l'énoncé dit demonter que v vérifie la relation de récurrence (E), je ne vois vraiment pas ce qu'il faut faire.

3).
a).Après quelque calcul je trouve déjà que w_n=1/2u_n+1-1/2u_n-3/2.
Pour trouver que c'est une suite géométrique je ne peux pas faire w_n+1/w_n d'où je ne vois pas comment prouver que w_n est une géométrique d'autant plus que dans l'expression de w_n+1 contient des u_n+2.
b). Pour cette question je ne sais pas trop car j'ai l'expression de u_n mais en fonction de Un+1 grace à (E) et j'ai le wn de la précédente question mais je n'arrive pas à les exprimer en fonction de n et de U1.
Par ailleurs, je ne suis pas sur de bien comprendre l'énoncé : est ce qu'il faut exprimer w_n en fonction de n et U1 puis de même pour u_n ou bien c'est respectivement w_n en fonction de n , u_n en focntion de u₁.

4). Je trouve une expression de la forme u_n+1=2u_n-n-1.
Mais avec cette expression je ne peux pas trouver u₂₀.

voilà alors si quelqu'un peux m'aider, merci beaucoup.