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exercice sur les suites et les espace vectoriel
Bonjour à tous et à toutes
J'ai à résoudre cet exercice:
E=ens des suites numériques qui est un IR-ev
Pour tous couples(a,b)avec b non nul, on définit:
Ea,b= ens des suites (Un) telles que :
Pour tt n entier naturel Un+2= aUn+1+bUn
Il faut démontrer que il existe une unique site (pn) de Ea,b telle que p0=1 et p1=0
Que ce soit pour l'existence ou l'unicité, je ne vois pas du tout.
Si vous pouviez me mettre sur la voie, ce serait vraiment bien!
Merci d'avance de vos réponses.
Salut,
tu peux faire les 2 par récurrence.
L'existence est assez simple mais boulverse car on ne sait pas trop quoi dire. En fait, il suffit de montrer que U(n) est toujours bien défini quelque soit n. Par exemple, U(n) ne doit pas etre une division par 0 à un certain moment etc.
Pour l'unicité ca se fait tout seul par récurrence par exemple.
A+
La récurrence marche en effet, mais il me semble que l'on peut également se servir de la dimension de Ea,b , qui est 2. On utilise l'équation caractéristique et on trouve assez facilement que les deux racines de
x^2 - ax - b=0 forment une base de Ea,b si on les élève à la puissance n (c.f méthode pour exprimer en fonction de n une suite à récurrence linéaire d'ordre 2).La réponse vient alors immédiatement si l'on décompose qn sur la base formée par les racines élevées à la puissance n. Si quelqu'un n'est pas d'accord avec moi, qu'il me le fasse savoir svp.Merci.
Non c'est une très bonne idée, celà étant ici on n'a rien montré en préliminaire, ou si c'est le cas, c'est pas dit, donc ce n'est pas ce qui s'impose, mais ca marche également, bien sur.
A+
Merci beaucoup de vos réponses
J'avais déjà refléchi à la récurrence, mais je ne suis pas sûr:
Je prends 2 suites Pn et Qn de Ea,b telles que P0=Q0=1 et P1=Q1=0
Je cherche à démontrer par récurrence que pour tout n : Pn=Qn
P0=Q0=1 et P1=Q1=0 : donc a propriété est vraie au rang 0 et 1
Je suppose que Pn=Qn et Pn+1=Qn+1
Pn+2=aPn+1+bPn=aQn+1+bQn=Qn+2
Donc Pn+2=Qn+2
On en déduit que la propriété est héréditaire
D'où pour tout n : Pn=Qn
C'est ça ou pas?
Merci beaucoup de vos réponses
J'avais déjà refléchi à la récurrence, mais je ne suis pas sûr:
Je prends 2 suites Pn et Qn de Ea,b telles que P0=Q0=1 et P1=Q1=0
Je cherche à démontrer par récurrence que pour tout n : Pn=Qn
P0=Q0=1 et P1=Q1=0 : donc a propriété est vraie au rang 0 et 1
Je suppose que Pn=Qn et Pn+1=Qn+1
Pn+2=aPn+1+bPn=aQn+1+bQn=Qn+2
Donc Pn+2=Qn+2
On en déduit que la propriété est héréditaire
D'où pour tout n : Pn=Qn
C'est ça ou pas?
Merci Lolo
Dans une autre question, on montre qu'il existe une unique suite (Qn) telle que Q0=0 et Q1=1
Puis on demande de démontrer que ((Pn),(Qn)) est une base de Ea,b.
Il faut donc que je montre que cette famille est libre et génératrice. Mais je ne vois pas comment faire avec ces suites
Bonsoir Céline77
On va d'abord montrer que cette famille est libre. c'est le plus facile des deux.
Soient 
et 
des réels tels que pour tout n, on a et montrons que ces deux réels sont nuls.
Ceci étant vrai pour tout n, c'est vrai en particulier pour n=0 et n=1.
Pour n=0, on a =0 et pour n=1, on a =0, ce qui démontre la liberté de la famille.
Pour montrer que cette famille est génératrice, on va procéder autrement.
Considérons l'application 
qui va de dans
² et qui à une suite associe le couple
.
Cette application est clairement linéaire et on va montrer qu'elle est bijective.
Déterminons son noyau.
Soit (un) un élément de son noyau.
Alors u0=u1=0. Il est alors assez facile de voir d'après la relation de récurrence que cette suite est nulle et donc est injective.
Montrons qu'elle est surjective.
Soit donc (
,
) appartenant à R[/smb]².
Considérons alors la suite (un) définie par u0=, u1=
et pour tout entier naturel, .
Par construction, (un) est clairement un élément de dont l'image par
est le couple (,), donc est surjective.
Ainsi, est bijective. Or ² est un espace vectoriel de dimension 2. Il en va donc de même pour .
Or (P_{n},Q_{n}) est une famille libre de qui contient deux éléments : c'est donc une base de
.
Kaiser
Merci Kaiser pour ta réponse, mais je n'ai pas compris où tu montres qu'elle est génératrice!
J'ai pas compris
Bonjour Celine77
En fait, ce que l'utilise c'est une propriété du cours qui dit la chose suivante :
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et soit une famille de n vecteurs de E.
Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1) F est une famille libre de E
2) F est une famille génératrice de E
3) F est une base de E
Normalement, c'est dans ton cours et je crois que ça doit se trouver juste après le théorème de la base incomplète (en tous cas, c'était comme ça dans mon cours de sup).
Kaiser
Oui, mais ici, je ne sais pas encore que Ea,b est de dimension finie. C'est suite à cette question qu'on me demande d'en déduire sa dimension.
Je l'ai démontré dans mon message de 22:08 avec mon application .
J'ai démontré que c'était un isomorphisme entre et
². Or ² est de dimension finie égale à 2, donc on en déduit que est également de dimension 2.
Mais vu que tu me dis que l'énoncé demande la dimension juste après, je suppose que tu veux qu'on démontre directement que c'est une famille génératrice ?
Kaiser
Pour montrer que la famille est génératrice, voici une autre méthode plus en rapport avec l'esprit de l'exercice (il me semble)
soit u(n) une suite de ton espace u(0)=a u(1)=b
donc u(n) = a p(n)+ b q(n) est vraie pour n =0 et 1, tu conclus par récurrence.
lolo
Une précision : je sais que je chipote mais je conseille de ne pas prendre a et b comme constantes (elles ont déjà été prises au début de l'énoncé pour définir . Mais bon, ce n'est qu'un détail.
Oui, il faut démontrer directement que c'est une famille génératrice mais je ne voit pas comment il faut partir en prenant une suite quelconque de Ea,b.
Oups je n'avais pas pas vu ton message lolo.
Merci Lolo et Kaiser pour votre aide!
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