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exercice sur les suites TS pour demain
bonjours à tous,
voilà mon énoncé me dit :
on pose, pour n>=1 Un=racine(2+...(racine2+(racine de 2))) (n radicaux)
1)j'ai définie (Un) par récurrence et je trouve Un+1=racine(2+Un)
2)puis j'ai représenter graphiquement les premier termes de la suite et j'ai conjecturer(demandé dans l'énoncé) son comportement.
j'ai dit qu'elle était croissante et qu'elle converge vers 2
3)j'ai montrer par récurrence que (Un) est croissante, majorée par 2
et là tous ce complique
4) on me dit montrer que pour tout n>=1 2-Un+1<=0.5(2-Un)
puis d'en déduire que pour tout n>=1 2-Un<=1/(2+(1/(2^(n-1))))
et je n'arrive pas du tout à trouver lesz solutions du 4 donc si quelqu'un pouvait m'aider je vous remercie d'avance
édit Océane : édite ton profil pour changer ton niveau, merci 
bonjour artemis31
pour le 4).
vous avez trouvé Un+1=racine(2+Un)
écrivez 2-Un+1 =2 - racine(2+Un)
puis multipliez et divisez le second membre par 2+racine(2+Un)
2 - racine(2+Un)=(2 - racine(2+Un))(2+racine(2+Un)) / (2+racine(2+Un))
=(4 - (2+Un)) / (2+racine(2+Un))
=(2 - Un) / (2+racine(2+Un))
comme (2+racine(2+Un)) >= 2 ; car racine(2+Un))> 0
donc 1/(2+racine(2+Un)) <= 1/2
comme vous avez montré que Un<2 qq soit n; donc 2-Un>0 qq soit n
et vous pouvez multiplier par 2-Un les deux membres de l'inégalité 1/(2+racine(2+Un)) <= 1/2 sans changer son signe. C-à-d :
[1/(2+racine(2+Un)) <= 1/2 et Un >2] ==> [(2-racine(Un)/(2+racine(2+Un)) <= (2-racine(Un)/2]
d'où:
2 - racine(Un+1) <= (2-racine(Un)/2 qq soit n.
si vos posez 2-racine(Un)=Vn
on a Vn <= V(n-1)/2<=V(n-2)/2²<=...<=V1/2^(n-1)
voila
bon courage
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