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exercice sur ln et exp
Bonjour, j'ai un exercice de maths a resoudre sauf que je n'y parvient pas :/
Voilà:
1) soit f une fonction definie sur ]0; +infini]
f(x) = ln(1+1/x)-x
a) determiner les limites de f en 0 et +infini
b) montrer que f est strictement décroissante sur ]0; +infini]
c) montrer qu'il existe un unique reel alpha 
appartenant a ]0; +infini] tel que: f() = 0
determiner une valeur approchée de à 10^-3 près.
2) soit g la fonction definie sur ]0; +infini] par: g(x) = ln(1+1/x)
La suite (un)n est definie par u0 = 1.5 et pour tt entier naturel n: un+1 = g(un)
a) representer la courbe C representative de la fonction g et la droite d'equation y = x
b) construire sur l'axe des abscisse, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite (un)n
c) on admet que la suite (un)n est convergente vers une limite strictement positive l
montrer que: ln(1+1/l) = l
d) demontrer que l = a.
J'ai fais la question 1)a) : lim f en 0 = +infini et lim f en +infini = -infini
par contre je bloque pour la b) je sais pas comment faire pourtant je suis sur que c'est simple. J'ai pensé a calculer la dérivée de f et de dresser le tableau de signe mais je suis pas sur. j'ai trouvé f'(x) = -1/x2+x
merci de votre aide 
Bonjour, oui, pour la b) il faut dériver la fonction. mais f '(x) = (-1/x²)/(1+1/x)-1 =-1/(x²+x)-1 = -(x²+x+1) /(x(x+1))
(attention, un ln u se dérive en u'/u)
x²+x+1 est toujours positif (discriminant négatif donc toujours du signe de a) et donc le numérateur est toujours négatif
le dénominateur x(x+1) est positif pour x>0 donc la dérivée est toujours négative et la fonction toujours décroissante.
il faut dériver
non on peut !!!
or ln est strictement croissante
donc par composée
de plus
donc leur somme f est décroissante
....
merci a vous deux ^^
je pensais que cela serait faux si on expliquait comme toi Carpediem, mais j'y avais pensé oui
mais sinon pour la derivée je trouve bien ca Glapion
pour la suite il faut utiliser le theoreme des valeurs intermédiaires en disant que
- 0 
]+infini; -infini]
- donc que ]0; +infini]
grace aux données de la calculatrice on trouve une valeur approchée de ... c'est cela ?
j'ai tracé les courbes, calculé et representé les termes de la suite.
je crois crois qu'il faut utiliser la recurrence pour la 2)c)
m" Soit la suite u definie sur 
par u0 = 1.5 et un+1 = ln(1+1/un).
Soit la fonction g definie sur ]0; +infini] par: g(x) = ln(1+1/x)
On se propose de demontrer ^par recurrence que la suite (un) est minorée par l.
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