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Exercice sur nombres premiers.
Bonjour à tous.
J'ai un controle à la rentrée et j'ai trouvé un exercice pour réviser mais je n'arrive pas à démarrer..
Voiçi l'énoncé : "Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux , décomposé en produit de facteurs premier sous la forme n=p1*p2*..pr
1/ Quel est le nombre de diviseurs de n
2/Quel est le nombre de diviseur de 19^3 * 37^6 ?
3/Quel est le plus petit entier naturel possèdant 28 diviseurs ?"
Pour le 1/ j'ai essayé de trouver en moyen avec l'exemple de 30 , qui vaut 2*3*5 ,et donc il admet 2,3,5,6,10,15,30 comme diviseur , mais je ne vois pas comment je peux faire avec n..
2/ Je voulais décomposer les deux nombres , mais ils sont premiers donc je ne sais pas quoi faire , étant donné que la puissance modifie ..
3/ Je pense que si j'arrive à faire les deux questions prècedentes je pourrais faire celle là avec un cheminement inverse..
Avez vous des idées ? Merci d'avance et bonne journée 
Bonjour Fizzle !
Il existe une formule pour connaître le nombre de diviseurs d'un nombre n décomposé en produit de facteurs premiers. Je te la donne ci-dessous mais si tu ne l'a pas vue en cours je ne sais pas si tu peux l'utiliser telle qu'elle 
Bref, si n=P1
1
P22...Pkk avec P1...Pk premiers et 0<i (i
)
Le nombre de diviseurs de n est:
(1+1)(2+1)...(k+1)
Bonjour
1) Regarde les exposant dans ton exemple
2^1 * 3^1 * 5^1
je peut donc trouver 2^0 et 2^1 comme exposant
je peut donc trouver 3^0 et 3^1 comme exposant
je peut donc trouver 5^0 et 5^1 comme exposant
sa fait donc 2 possibilité pour deux, 2 pour 3 et 2 pour 5.
Or le nombre de diviseur et le nombre de combinaison que l'on peut faire de ces nombre.
2*2*2 = 8 possibilité
preuve
2^0 * 3^0 * 5^0 = 1
2^0 * 3^0 * 5^1 = 5
2^0 * 3^1 * 5^0 = 3
2^0 * 3^1 * 5^1 = 15
2^1 * 3^0 * 5^0 = 2
2^1 * 3^0 * 5^1 = 10
2^1 * 3^1 * 5^0 = 6
2^1 * 3^1 * 5^1 = 30
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Il y a bien 8 diviseur
En fait la loi que tu doit connaitre dit que ces le produit des diviseurs auquel on a rajouté un.
Effectivement je l'avais en bas de ma feuille , et je l'avais pas remarqué , deux semaines que j'ai pas eu spécialité donc j'avais zappé la formule ..
Donc pour la 2/ , le produit admet (3+1)*(6+1) diviseurs soit 28 .
3/ Donc le nombre se décompose avec les puissances 3 et 6 , donc par exemple 2^3*2^6 = 512 , 512 serait donc il le plus petit nombre admettant 28 diviseurs exactement ?
On considère que le nombre n admet 28 diviseurs si il admet dans sa décomposition en facteur premiers quelque chose de la forme n = P0^3*P1^6 , on prend ensuite les deux plus petits nombres premiers soit 2 et 3 et on obtient 1728.
28 / 2 = 14
14 / 2 = 7
28 = 2^2 * 7 ^1
...
Les exposant doivent donc étre 2, 2 et 7
Les nombre premier a choisir sont les plus petit soit 2,3,5
ensuite tu teste toute les possibilité
!!!
Les exposant peuvent être 2, 2 et 7
Les exposant peuvent être 4 et 7
Les exposant peuvent être 14, 2
Les exposant peuvent être 28
je ne me souvient plus comment on prouve lesquels est le plus intéressants.
2² * 3² * 5^7 = 28800
2² * 3^7 * 5² = 218700
2^7 * 3² * 2² = 4608
2^4 * 3^7 = 34992
2^7 * 3^4 = 10368
2^14* 3² = 147756
2² * 3^14 = 19 million ++
2^28 = 1 million et quelques
4608 a l'air d'être le plus petit.
Je comprend pas tout .. Tu as décomposé 28 en admettant que c'est n , alors que c'est n que l'on cherche , 28 ne doit pas être le résultat de (A0+1)(A1+1)..(Ar+1)=28 ?
J'ai décomposé 28 Afin de connaitre les exposant mais j'ai en effet fait une erreur j'ai oublier d'enlever 1
28 = 2^2 * 7 ^1
Les exposant peuvent être 1, 1 et 6 affin d'avoir 2*2*7 = 28 diviseur
Les exposant peuvent être 3 et 6 affin d'avoir 4*7 = 28 diviseur
Les exposant peuvent être 13, 1 affin d'avoir 14*2 = 28 diviseur
Les exposant peuvent être 27 affin d'avoir 28 = 28 diviseur
2 * 3 * 5^6 = 93750
2 * 3^6* 5 = 7290
2^6 * 3 * 2 = 384
2^3 * 3^6 = 5832
2^6 * 3^3 = 1728
2^13* 3 = 24 mille ....
2 * 3^13 = ....
2^27 = beaucoup
384 a l'air d'être le plus petit.
Bonjour,
bien que ce forum semble ne pas avoir reçu de messages depuis 3 ans, j'écris ici pour tous ceux qui liraient les messages précédant en pensant que 384 est la bonne réponse à ce problème.
En effet 384 n'admet que 16 diviseurs, établissons la liste:
1* 384 = 384
2* 192 = 384
3* 128 = 384
4* 96 = 384
6* 64 = 384
8* 48 = 384
12* 32 = 384
16* 24 = 384
Ce qui fait bien 16 diviseurs et non 28.
Le problème vient d'un non-respect de la formule, 2^6 * 3 * 2 n'est pas correct, car cela revient à faire 2^7 * 3 et (7+1)(1+1) = 16, ce qui nous ramènent bien à nos 16 diviseurs.
Je pense qu'ici, il faut bien appliquer la formule avec 6, 1 et 1 comme exposants, ce qui donne : 2^6 * 3 * 5 = 960.
Pour moi, 960 est le plus petit nombre à 28 diviseurs.
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