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Exercice sur une matrice
Bonjour à tous
dans cet exercice on considère la matrice A =
1
0 1
.
.
1 1 ..... 1
on veut déteminer
a)ker A
b)Im A
c)l'ensemble des valeurs propres de A
a) M la matrice colonne
x1
.
.
xn
M 
ker A 
système xn=0
x1+...+xn=0
A partir de là, il faut que je trouve la dimension de ker A et une base de ker A. Pour la dimension, je crois que c'est 2, mais pour la base, je ne vois pas comment la trouver
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance
comme tu viens de l'écrire le noyau de A est l'espace vectoriel trivial (réduit à 0), donc il est de dimension 0 et par définition n'admet pas de base (ou alors une base réduit à l'ensemble vide)
ensuite pour l'image tu peux utiliser le théorème du rang
et le reste c du calcul... 
Bonsoir.
Nous supposerons que n > 2, le cas n = 2 étant à traiter séparément.
1°) Appelons B = (e1, ... , en) la base canonique de Rn.
Nous voyons alors que A = [|en | en | ... | en | e1 + ... + en|]
Ceci prouve que le rang de A est 2, donc :
dim(Ker(A)) = n - 2 et dim(Im(A)) = 2
2°) Appelons u l'endomorphisme de Rn tel que A = Mat(u,B). Nous avons :
u(e1) = en
u(e2) = en
.
.
.
u(en-1) = en
u(en) = e1 + ... + en
On en déduit facilement :
BKer(u) = (e1-e2 , e1-e3 , ... , e1-en-1)
BIm(u) = (en , e1 + ... + en)
3°) A est symétrique réelle donc diagonalisable. Elle admet la valeur propre 0 avec la multiplicité n-2 et deux
autres valeurs propres : a et b non nulles.
Remarquons que tr(A) = 1 => a + b = 1.
Soit t une valeur propre non nulle de A. Le système AX = tX se traduit par :
xn = t.x1
xn = t.x2
.
.
.
xn = t.xn-1
x1 + ... + xn = t.xn
Comme t est supposée non nulle,
x1 = xn/t
x2 = xn/t
.
.
.
xn-1 = xn/t
En reportant, et en observant que xn est non nul, on arrive à l'équation :
t² - t - (n-1) = 0
On trouve donc :
A plus RR.
Remarque.
Tous les résultats précédents s'appliquent pour n = 2, même le calcul de a et de b.
En revenant au cas général, on peut chercher des vecteurs propres.
1°) Pour t = 0
Alors, le sous-espace propre E0 est Ker(u), dont une base a été donnée dans mon précédent topic.
2°) Pour t = a ou b
Le système écrit pour chercher les valeurs de a et de b permet de trouver une base de chaque sous-espace propre.
Ea = Vect{(1,1,...,1,a)} et Eb = Vect{(1,1,...,1,b)}
A plus RR.
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