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Exercice tangente
Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant:
Dans cette situation, par un plan constitué du repère orthonormé (O;i,j), on désigne par C la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur ]0;+
[ , f et f' ne s'annulant par sur I.
On note M, point de C d'abscisse x0 et T la tangente à C au point M.
Questions:
1)a) Déterminer une équation de la tangente à T en M.
b) Montrer que la tangente T coupe l'axe des ordonnées en un point N d'ordonnée yK= f(x0)-x0f'(x0).
2) a) Soit k un réel fixé non nul. On cherche à déterminer les fonctions f pour lesquelles la différence f(x0)-yN est constante et égal à k, pour tout réel x de ]0;+[. Montrer que f vérifie la condition posée si et seulement si f vérifie l'équation différentielle : y' = k/x.
b) En déduire la famille des fonctions vérifient la propriété donnée et déterminer pour k=1/2 la fonction f de cette famille qui vérifie f(1)=0
Mes réponses :
1)a) J'ai mis y= f'(x0) (x-x0)+f(x0)..
Pour le reste 
Merci pour votre aide.
Bonsoir,
Un début :
1)a) J'ai mis y= f'(x0) (x-x0)+f(x0)..
Rien à dire, c'est correct.
1)b) l'axe des ordonnées a pour équation
Remplace
Tu obtiendras l'ordonnée du point d'intersection tangente/axe des ordonnées.
Bonsoir, merci beaucoup pour votre aide.
1)b) On sait que y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)
Ici l'axe des ordonnées a pour équation x=0
Donc y=f'(x0)(0-x0)+f(x0)
<—>y= f(x0)-x0f'(x0)
2)a) Ici y'=k/x = k*1/x
Donc y=k ln(x)
On a ln(x) 
]0;+]
Donc f(x)= k ln(x) ]0;+[
Alors f vérifie la condition posée si et seulement si f vérifie l'équation différentielle f'(x) = k/x
b) La famille des fonctions vérifiant la propriété donnée est y'=k/x + C
Pour k=1/2:
On a f'(x)=1/2/x = 1/2/1 * 1/x = 1/2 * 1/x
Alors y= 1/2 * ln(x) = 1/2 ln(x)
Vérifions si pour f(x)=1/2 ln(x) on a f(1)=0:
1/2 ln (x) = 0
ln(x)=0
x=e0
Donc x=1
Alors f(1) = 1/2 ln (1)=0. Cette fonction vérifie f(1)=0
C'est bon ? Merci encore pour votre aide
2)a) Ici y'=k/x
Oui.
2)a)b)
Donc y=k ln(x)
Non, sur
Bonjour, merci pour votre aide.
Donc sur ]0;+[ y(x)=k ln(x) + C vérifie la condition posée si et seulement si f vérifie l'équation différentielle y'(x) = k/x
Pour le b), comme on détermine la famille des fonctions vérifiant la propriété ? J'avis mis précédemment y'= k/x + C...
En conséquence la fonction f(x)= 1/2 ln(x) =0 vérifie bien f(1)=0 ?
Merci pour l'aide que vous apportez.
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