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Exercice Trigonométrie

Posté par
Jeje34 30-05-09 à 21:13

Bonjour,

1) Montrer que x: cos x + sin x = 2 cos (x-(/4))
2)
a) Déterminer le maximum et le minimum sur de la fonction f: f(x)=cos x + sin x
b) Résoudre l'équation : cos x + sin x = -1

Je n'y arrive vraiment pas, quelqu'un peut m'aider ou m'expliquer les démarches a suivre ?

Merci !

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 21:20

Bonsoir,
Si on ne sait pas le faire, ce n'est pas si évident de trouver la démonstration ...
Il faut écrire : cos x\,+\,sin x\,=\,\sqrt{2}\,\Big(cos(x)\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,+\,sin(x)\,\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)
Après, tu devrais trouver...

Posté par
Jeje34re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 21:23

J'ai pas compris ce que tu as fait. :S

Posté par
Jeje34re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 21:27

Si, c'est bon j'ai compris...

Attend je vais voir si je trouve la suite !

Merci.

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 21:30

Je multiplie cos x et sin x par 1 que j'écris  \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
cos\,x\,+\, sin\,x\,=\,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\,cos\,x\,+\,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\,sin\,x
Ensuite, je mets \sqrt{2} en facteur :
=\,\sqrt{2}\,\Big(cos(x)\,\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,+\,sin(x)\,\,\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)
  

Posté par
Jeje34re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 21:33

Bon, pour la suite je ne trouve pas non plus...:/

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 21:37

il faut se rappeler que :
cos( \frac{\pi}{4})\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}
et
sin (\frac{\pi}{4})\,=\,\frac{1}{\sqrt{2}}

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 21:40

\sqrt{2}\,\Big(cos(x)\,\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,+\,sin(x)\,\,\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)\,=\,\sqrt{2}\,\Big(cos(x)\,cos(\frac{\pi}{4})\,+\,sin(x)\,sin(\frac{\pi}{4})\Big)

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 21:54

Non, toujours pas ?... C'est presque fini pourtant...

Posté par
Jeje34re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 21:58

Je comprend tous les résultats et les calculs que tu as énoncé, mais j'arrive jamais a trouver la suite par moi même, ca m'énerve, je suis encore bloqué...

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:06

Il faut se rappeler que :
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:08

Donc :
\sqrt{2}\,\Big(cos(x)\,cos(\frac{\pi}{4})\,+\,sin(x)\,sin(\frac{\pi}{4})\Big)\,=\,\sqrt{2}\,cos(x\,-\,\frac{\pi}{4})

Posté par
Jeje34re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:08

Exact, il faut que je revoi mon cours et mes formules en effet !

Merci a toi Marc, bonne soirée a toi !

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:10

Oui, en trigo, il faut savoir les formules ...
Bonne soirée

Posté par
Jeje34re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:18

Mince l'exo n'est pas terminé. ^^

Pour calculer le maximum et le minimum quelle est la démarche, stp ?

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:22

Il faut dériver...
Les extrema (==> les minima et maxima) sont donnés par f'(x) = 0.
Il faut prendre  \sqrt{2}\,cos(x\,-\,\frac{\pi}{4})  pour dériver. C'est plus simple à mon avis...
Il n'y a pas qu'un maximum et qu'un minimum

Posté par
Jeje34re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:30

f'(x) = 1/(22)  -sin (x-(Pi/4)

C'est ça ?

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:35

Non...
f^'(x)\,=\,-\sqrt{2}\,sin(x\,-\,\frac{\pi}{4}

Posté par
Jeje34re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:40

Il faut faire une étude complète ? Avec limites, tableau variation etc ?

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:42

Donc
f^%27(x)\,=\,-\sqrt{2}\,sin(x\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,0
Donc
x\,-\,\frac{\pi}{4}\,=\,k\,\pi
x\,=\,\frac{\pi}{4}\,+\,k\,\pi
Il faut faire un tableau de variation sur [0\,;\,2\pi] pour déterminer le maximum et le minimum, sachant que le tableau se répète sur (cosinus => période 2)

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 22:57

Sur [-;+] :
le maximum est /4 et le minimum est /4 - = -3/4
Donc les maxima sont /4 + 2k sur .
Les minima sont -3/4 + 2k sur .

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 30-05-09 à 23:08

cos x\,+\,sin\,x\,=\,\sqrt{2}\,cos(x\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,-1
cos(x\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,-\,\frac{1}{\sqrt{2}}
cos(x\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,cos(\frac{3\pi}{4})
Donc
x\,-\,\frac{\pi}{4}=\,\frac{3\pi}{4}  ou  x\,\,-\,\frac{\pi}{4}=\,-\,\frac{3\pi}{4}
x=\,\frac{3\pi}{4}\,+\,\frac{\pi}{4}  ou  x=\,-\,\frac{3\pi}{4}\,+\,\frac{\pi}{4}
x=\,\pi  ou  x=\,-\,\frac{\pi}{2}

Posté par
Jeje34re : Exercice Trigonométrie 04-06-09 à 00:08

Pour faire le tableau de variation, comment je dois m'y prendre pour une fonction trigonométrique ?

Je ne l'ai jamais fait avec une fonction trigo. :/

Merci pour ton aide.

Posté par
Marc35re : Exercice Trigonométrie 04-06-09 à 11:18

f^%27(x)\,=\,-\sqrt{2}\,sin(x\,-\,\frac{\pi}{4})\,=\,0

Je viens de voir que j'ai oublié des bouts de la solution (le domaine de définition étant )
x\,-\,\frac{\pi}{4}=\,\frac{3\pi}{4}\,+\,2k\pi  ou  x\,\,-\,\frac{\pi}{4}=\,-\,\frac{3\pi}{4}\,+\,2k\pi
x=\,\pi\,+\,2k\pi  ou  x=\,-\,\frac{\pi}{2}\,+\,2k\pi
Pour le tableau de variation, il faut faire l'étude sur une période (puisque celle-ci se répète indéfiniment).
f^%27(x)\,=\,-\sqrt{2}\,sin(x\,-\,\frac{\pi}{4})\,\ge\,0
sin(x\,-\,\frac{\pi}{4})\,\le\,0
-\pi\,\le x\,-\,\frac{\pi}{4}\,\le\,0
-\pi\,+\,\frac{\pi}{4}\,\,\le x\,\le\,\frac{\pi}{4}\,
-\frac{3\pi}{4}\,\,\le x\,\le\,\frac{\pi}{4}\,

Exercice Trigonométrie


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