Inscription / Connexion Nouveau Sujet
exercice valeurs propres diagonalisation
Bonjour
je fais appel à vous car je ne comprends pas le résultat d'une correction d' un exercice
Voici l' énoncé : Soient a, b et A la matrice
0 0 a
0 0 b
a b 2
Montrer que =0 est une valeur propre simple si et seulement si
0
Si on calcule le polynome caractéristique on a
PA(x)=
La correction dit ensuite que 0 est vap simple de A ssi O n' est pas racine du polynome caractéristique.d' abord cela me semble en contradiction avec le résultat du cours disant que est vap de f ssi elle est racine du polynome caractéristique.
Bref je ne comprends pas si ce résulat est lié au fait que l' on soit dans les complexes ou si c'est en rapport avec la multiplicité
je ne vois pas ce que ça change si =0
Bonjour,
Dire que 
est valeur propre simple de ta matrice signifie que est une racine simple de son polynôme caractéristique, par définition.
Et bien sur, les valeurs propres d'une matrice sont les racines du polynome caractéristique. Donc ta phrase : "0 est vap simple de A ssi O n' est pas racine du polynome caractéristique" est fausse.
Ton polynôme caractéristique est de la forme PA(X)=XQ(X) avec Q(X) un polynôme.
Ainsi 0 est racine simple de PA ssi 0 n'est pas racine de Q(X) ssi Q(0) n'est pas nul.
L' idée est de dire =O est vap Ssi PA(x) n'est pas nulle, Ssi Q(x)est différent de 0 donc si a^2+b^2 différent de 0 ?
Ce que je ne comprends pas c'est que quelle que soit la valeur de a^2+b^2 le polynome caractéristique =0 comme racine est égal à 0 ?
je crois que je comprends mal le sens de racine simple ou que je confonds avec racine unique ?
Ou alors si on considère que a^2+b^2=0 alors les racines du polynome sont 0, 1 et 0. 0 apparait deux fois donc =0 est racine de multiplicité 2 si ( a^2+b^2)=0 et n'est donc pas une racine simple?
Ou alors si on considère que a^2+b^2=0 alors les racines du polynôme sont 0, 1 et 0. 0 apparait deux fois donc
Pour ça, je suis d'accord.
Pour être clair, je te rappelle la définition d'etre une racine simple :
Si P(X) est un polynôme,
une racine de P(X) et n le plus grand entier naturel tel que ) alors
¤ si n=1 : on dit que
est racine simple,
¤ si n=2 : on dit que
est racine double,
¤ si n=3 : etc...
Si tu es d'accord avec ça, il n'y a plus rien à ajouter, je t'ai tout fait :
Ton polynôme caractéristique est de la forme PA(X)=XQ(X) avec Q(X) un polynôme.
Ainsi 0 est racine simple de PA ssi 0 n'est pas racine de Q(X) ssi Q(0) n'est pas nul.
On peut détailler un peu plus : 0 est racine simple de PA(X) ssi X divise XQ(X) et X2 ne divise pas XQ(X) ssi X ne divise pas Q(X) ssi 0 n'est pas racine de Q(X) ssi Q(0) n'est pas nul.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac