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exercices comportant des ROC

Posté par sisterwallou (invité) 17-01-05 à 14:46

Soit E1 l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle y'=y.
Soit E2 l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle y''=y.
Le but de l'exercice est de démontrer qu'il existe une unique solution f qui appartient à E2, et qui vérifie
f(0)=1 et f'(0)=0.
1) Vérifier que les fonctions définies sur R par
x tend vers e^x et x tend vers e^-x sont des éléments de E2.
2) Soit f une fonction dérivable sur R; on pose u=f+f'. a) Démontrer que f appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.
b) Prérequis La fonction x tend vers e^x est solution de E1.
Démontrer l'unicité de la solution de E1 qui vérifie u(0)=1.
3) Soit f un élément de E2 . On pose, pour tout réel x. g(x)=f(x)e^x. Démontrer que si f vérifie f(0)=1 et f'(0)=0, alors g'(x)=e^(2x).
4) Démontrer qu'il existe une seule fonction répondant au problême posé; déterminer son expression.

Posté par
Revelli
re : exercices comportant des ROC 17-01-05 à 19:02

Bonsoir,

Utilise les symboles x2 et x2 en dessous du cadre de saisie pour mettre une expression en indice ou en exposant

1) Il ne s'agit pas de "x tend vers" mais "à x on fait correspondre y1=ex" ou "y2=e-x"

y'1=y1
y''1=y'1

donc y''1=y1

y'2=-y2
y''2=-y'2

donc y''2=y2

donc les fonctions y1 et y2 appartiennent à l'ensemble E2

2) a/ Soit u=f+f' appartenant à E1

On a donc u'=u soit f'+f''=f+f' soit f''=f donc f appartient à E2

Inversement supposons que f appartienne à E2

u'=f'+f"=f'+f=f+f'=u donc u appartient à E1

Je m'interromps pour l'instant

A bientôt

Posté par
Revelli
re : exercices comportant des ROC 17-01-05 à 20:40

Re-Bonsoir,

2) b/ On voit que u(x)=ex appartient à E1 et u(0)=1.

Il faut démontrer que u(x) est unique.

Les solutions de y'=y sont de la forme v(x)=ex avec

Supposons que v(0)=1 => =1 => v(x)=u(x)

Donc u(x) est unique.

3) Les solutions de E2 sont de la forme f(x)=ex+e-x

Si f(0)=1 => +=1

Si f'(0)=0 => -=0

d'où ==1/2

On trouve alors g(x)=exf(x) => g'(x)=e2x

4) Je pense que je n'ai pas fait les bonnes démonstrations aux questions précédentes

Peut-être quelq'un d'autre aura une meilleure idée

A bientôt

Posté par sisterwallou (invité)merci 18-01-05 à 09:13

je te remercie d'avoir essayer ! bisous

Posté par sisterwallou (invité)Aidez moi stp exponentielle 18-01-05 à 09:14

Soit E1 l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle y'=y.
Soit E2 l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle y''=y.
Le but de l'exercice est de démontrer qu'il existe une unique solution f qui appartient à E2, et qui vérifie
f(0)=1 et f'(0)=0.
1) Vérifier que les fonctions définies sur R par
x tend vers e^x et x tend vers e^-x sont des éléments de E2.
2) Soit f une fonction dérivable sur R; on pose u=f+f'. a) Démontrer que f appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.
b) Prérequis La fonction x tend vers e^x est solution de E1.
Démontrer l'unicité de la solution de E1 qui vérifie u(0)=1.
3) Soit f un élément de E2 . On pose, pour tout réel x. g(x)=f(x)e^x. Démontrer que si f vérifie f(0)=1 et f'(0)=0, alors g'(x)=e^(2x).
4) Démontrer qu'il existe une seule fonction répondant au problême posé; déterminer son expression.


*** message déplacé ***

Posté par sisterwallou (invité)besoin d aide sur équations différentielle 18-01-05 à 09:16

Soit E1 l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle y'=y.
Soit E2 l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle y''=y.
Le but de l'exercice est de démontrer qu'il existe une unique solution f qui appartient à E2, et qui vérifie
f(0)=1 et f'(0)=0.
1) Vérifier que les fonctions définies sur R par
x tend vers e^x et x tend vers e^-x sont des éléments de E2.
2) Soit f une fonction dérivable sur R; on pose u=f+f'. a) Démontrer que f appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.
b) Prérequis La fonction x tend vers e^x est solution de E1.
Démontrer l'unicité de la solution de E1 qui vérifie u(0)=1.
3) Soit f un élément de E2 . On pose, pour tout réel x. g(x)=f(x)e^x. Démontrer que si f vérifie f(0)=1 et f'(0)=0, alors g'(x)=e^(2x).
4) Démontrer qu'il existe une seule fonction répondant au problême posé; déterminer son expression.


*** message déplacé ***

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : exercices comportant des ROC 18-01-05 à 09:47

Sisterwallou,
Tu peux perdre cette habitude de faire systématiquement du multi-post à chaque fois que tu as un problèmé ?

Les modérateurs aimeraient parfois faire un peu autre chose que déplacer des messages...

Merci. A dans quelques jours...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : exercices comportant des ROC 18-01-05 à 14:22

1)
F(x) = e^x
F'(x) = e^x
F''(x) = e^x

On a donc bien F(x) = F''(x) et donc x |--> e^x est un élément de E2
---
G(x) = e^-x
G'(x) = -e^-x
G''(x) = e^-x

On a donc bien G(x) = G''(x) et donc x |--> e^-x est un élément de E2
-----
2)
a)
u = f+f'
u' = f'+f''

f'' = u' - f'
f = u - f'

On aura f = f'' si on a u' - f' = u - f, donc si u' = u donc si u appartient à E1
---
b)
y' = y
-> y = A.e^x
y(0) = 1 -> 1 = A

y = e^x
-----
3)
y''= y

y = B.e^x + C.e^-x
f(x) = B.e^x + C.e^-x
f(0) = 1 -> B+C=1
f '(x) = B.e^x - C.e^-x
f '(0) = 0 -> B - C = 0
Et donc B=C=1/2
et f(x) = (1/2).(e^x + e^-x)

g(x)=f(x).e^x
g'(x) = f '(x).e^x + f(x).e^x
g'(x) = e^x.(f(x) + f'(x))
g'(x) = e^x.((1/2).(e^x + e^-x) + (1/2).(e^x-e^-x))
g'(x) = e^x.e^x
g'(x) = e^(2x)
-----
4) Déjà fait au point 3.
On  a trouvé: f(x) = (1/2).(e^x + e^-x)

Et donc je me pose la question de savoir si la méthode que j'ai utilisée était celle attendue par le prof.
-----

Posté par
Belge-FDLE
re : exercices comportant des ROC 21-01-05 à 23:24

Salut à tous ,

Pour ce qui concerne la dernière remarque de J-P, il y avait peu-être une autre méthode pour la 3) qui n'engendrait pas de redondance à la question 4) .
Je la propose donc ici :

3) Soit f un élément de E2 . On pose, pour tout réel x :  2$\rm~g(x)~=~f(x)~e^{x}.
Démontrer que si f vérifie f(0)=1 et f'(0)=0, alors 2$\rm~g'(x)~=~e^{2x}.


On a par hypothèse : 2$\rm~g(x)~=~f(x)e^{x}.
De plus g est dérivable sur  2$\mathbb{R}  comme produit de fonctions dérivables en sur 2$\mathbb{R}, et on a (on suppose f dérivable sur 2$\mathbb{R}) :

2$\rm~g'(x)~=~f(x)e^{x}~+~f'(x)e^{x}           (on utilise simplement : (uv)'=u'v+v'u )]
d'où  2$\rm~g'(x)~=~e^{x}(f(x)+f'(x))

Or, par hypothèse f est un élément de E2 et on a montré précédemment que dans ce cas, la fonction y définie par 2$\rm~y(x)=(f(x)+f'(x)) est un élément de E1. De plus f(0)=1 et f'(0)=0. On obtient donc :

2$\rm~\{{y=y'\\y(0)=1}

Ainsi y est en fait la fonction exponentielle : 2$\rm~y(x)~=~f(x)+f'(x)~=~e^{x}.
On obtient donc :

2$\rm~g'(x)~=~e^{x}(e^{x})
ainsi  2$\rm\begin{tabular}{|c|}\hline~g'(x)~=~e^{2x}\\\hline\end{tabular}


4) Démontrer qu'il existe une seule fonction répondant au problème posé. Déterminer son expression.
g est une primitive de g', et les primitives d'une fonctions sont définies à une constantes réelle près. On a :

2$\rm~g'(x)~=~e^{2x}
i.e  2$\rm~g(x)~=~\frac{1}{2}e^{2x}~+~k

De plus, on a par hypothèse f(0)=1 donc :

2$\rm~g(0)~=~f(0)e^{0}~=~1

On doit donc déterminer k de manière à ce que :

2$\rm~g(0)~=~\frac{1}{2}e^{2\times0}~+~k~=~1
ainsi  2$\rm~k~=~-\frac{1}{2}

Finalement, on a :
  
2$\rm~g(x)~=~\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{2}
d'où  2$\rm~g(x)~=~e^{x}~(\frac{1}{2}e^{x}~-~\frac{1}{2}\times\frac{1}{e^x})   (On factorise par exp(x) pour faire apparaitre f(x))

par conséquent  2$\rm~f(x)~=~\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}
d'où  2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline~f(x)~=~\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})\\\hline\end{tabular}

Et on aboutit au même résultat .
Voili, voilou .

À +

Posté par
Revelli
re : exercices comportant des ROC 22-01-05 à 07:41

Bonjour Belge-FDLE,

JP et moi n'arrivions pas au même résultat car nous avions une somme et non pas une différence.

Nos démonstrations supposaient la connaissance des solutions générales aux équations différentielles, ce qui ne pouvait être la bonne façon de procéder.

Ce que JP et moi avions ressenti tous les deux.

Ta démonstration est donc la bonne mais il y a un problème avec la solution de f(x).

En effet, il faut que f(0)=1 et f'(0)=0

Avec ton résultat, je trouve que f(0)=0 et f'(0)=1

Il y a donc un problème et je n'ai pas pu voir où il se trouvait

Merci de confirmer

A bientôt donc

Posté par
Belge-FDLE
re : exercices comportant des ROC 22-01-05 à 12:47

Salut Reveli ,

Tu as tout à fait raison, et voici où se trouve mon erreur (petite précipitation de ma part ). J'ai écris, dans la question 4) :


"On doit donc déterminer k de manière à ce que :
2$\rm~g(0)~=~\frac{1}{2}e^{2\times0}~+~k~=~1
ainsi  2$\rm~k~=~-\frac{1}{2}
  "


J'ai dû oublier complètement le 1 à droite et le considérer comme un 0, car il est évident que l'on a en fait :
2$\rm~k~=~1-\frac{1}{2}~=~\frac{1}{2}[/i]

Et ainsi, on obtient alors bien :

2$\rm~g(x)~=~\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}
d'où  2$\rm~g(x)~=~e^{x}~(\frac{1}{2}e^{x}~+~\frac{1}{2}\times\frac{1}{e^x})
i.e  2$\rm~g(x)~=~e^{x}~\frac{1}{2}(e^{x}~+~e^{-x})

par conséquent  2$\rm~f(x)~=~\frac{1}{2}(e^{x}~+~e^{-x})

Et là, on aboutit bien au même résultat .

Voilà, j'espère que c'est juste maintenant .

À +



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