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Exercices diagonalisation
Bonjour,
je bloque sur la première question de mon exercice... le voici :
"Soit et
Sp(A) 
.
1) Montrez que les dimensions des espaces propres réels et complexes sont les mêmes.
2) Supposons que le polynôme caractéristique de A soit scindé sur R. Montrez que A est diagonalisable sur R 
A est diagonalisable sur 
.
3) Donnez un exemple où une matrice est diagonalisable tout en sachant que son polynôme caractéristique admet des racines multiples."
Voilà, pour la une je sèche complétement, je ne sais pas d'où partir et comment mener la démonstration... la deux découle de la première question et je saurai la faire après avoir démontré la première question. Pour ce qui est de la 3, j'ai des exemples dans mes TD mais j'aimerais pouvoir construire une telle matrice, dois-je partir d'un polynôme sous sa forme factorisée pour en déduire la matrice ? Car rien ne m'assure ensuite que la dimension du sous espace propre associé à l'une des racines soit égal à la multiplicité de cette dernière... Je veux juste qu'on m'oriente sur la bonne méthode.
Merci d'avance.
Dans la question 1 tu n'as pas précisé : on parle de quels espaces propres ? J'imagine que gamma sert quelque part, sinon elle n'aurait pas été définie, me trompé-je ?
Bref un énoncé complet c'est mieux
Bonjour lafol,
il est vrai que l'énoncé est assez souple pour ça, néanmoins je trouve ça intriguant en terme de méthode de pouvoir construire une matrice (qui à la base n'est pas diagonale) qui peut être diagonalisable.
Tu la construis à l'envers : tu pars d'une diagonale comme tu as envie et tu fais un changement de base...
Pour ce qui est de l'énoncé, j'ai peut-être mis au pluriel ce qui était au singulier, mea culpa. Néanmoins je l'ai recopié mot pour mot. Je suppose ici qu'on parle du sous espace propre associé à gamma.
D'accord, merci pour la troisième question, c'était en effet assez simple de penser au changement de base...
Enfin, pour la première question ce serait montrer que les espaces propres réel et complexe de A pour la valeur gamma ont la même dimension (je viens de vérifier l'énoncé directement depuis le polycopié présent sur la page web de mon professeur).
En effet 
Mais pour moi, comme 
et que gamma appartient aux réels, alors gamma appartient aux complexes donc c'est "évident" (je mets bien ce mot entre guillemets au cas où je dis une co****ie) que la dimension du sous espace propre réel associé à gamma soit égale à la dimension du s-e propre complexe étant donné que les équations déterminant la base du sous espace propre ne changent pas...
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