Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

exercices suite

Posté par
Bonjourbon
20-09-21 à 20:56

Bonjour. J'ai des exercices de suite portant principalement sur les récurrences et je bloque à un certain point. Voici l'énoncé et ceux à quoi j'ai pu déjà répondre:

1-Préliminaires:
a) Démontrer par récurrence que la somme des termes d'une suite géométrique (un) de premier terme u0 et de raison q=/1 est :
somme uk = u0* (1-q^n+1)/(1-q)
Initialisation: n=0
u0= (1-q^0+1)/(1-q)
u0=u0 donc vraie
Hérédité :
HR: supposons que pour tout n E N, existe un rang n tel que : u0+u0*q+u0*q^2+...+ u0*q^n= u0* (1-q^n+1)/(1-q)
BUT: somme un+1=u0* (1-q^n+2)/(1-q)
On a : (u0+u0*q+u0*q^2+...+ u0*q^n+ u0*q^n+1
= u0* (1-q^n+1)/(1-q) * q^n+1
=u0* (1-q^n+1*q^n+1)/(1-q)
=u0 *(1-q^n+2)/(1-q)
Conclusion: Par récurrence, somme un=u0 *(1-q^n+1)/(1-q)

b)Démontrer que l'aire d'un triangme équilatéral de côté a est : (a^2√3)/4
On sait que 'aire d'un triangle équilatéral de côté c est de (c^2√3)/4, donc A=(a^2√3)/4

2-Problème:
On partage un triangle équilatéral noir, de 10 cm de côté, en 4 triangles équilatéraux en traçant les segments joignant les milieux des côtés de ce triangle. ON blanchit le triangle central. Chaque petit triangle noir est alors partagé en quatre triangles selon le même procédé et on blanchit le triangle centrale. Et ainsi de suite on poursuit la construction. (voir schéma ci-joint)
Pour tout entier naturel n, on désigne par:
un le nombre de triangles blanchis lors de l'étape n,
pn le périmètre d'un triangle blanchi lors de l'étape n,
an l'aire d'un triangle blanchi lors de l'étape n.

Partie A)
1) Calculer u1, p1 et a1 (on pourra utiliser les préliminaires):
u1= 1
p1= 15
a1=(5^2√3)/4 = (25√3)/4

2)a)Indiquer comment u2, p2 et a2 s'obtiennent à partir de u1, p1 et a1. Cela reste-t-il vrai d'une étape n à une étape n+1:
u2=u1+3= 1+3=4
p2=p1/2=15/2=7,5
a2=????
un+1= un+ 3^n
pn+1=pn/2
an+1=??

b)En déduire la nature des suites u,p et a
c) Exprimer un, pn et an en fonction de n.

Partie B)
Pour tout entier n, on note Pn la somme des périmètres de tous les triangles blanchis lors de l'étape n.
1°Exprimer PN en fonction de pn et un, puis vérifier que pour tout entier n, Pn =15*1,5^n-1
2)A l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle étape n, Pn dépasse 1m?10km?

Partie C)
1)Pour tout entier n , on désigne An la somme des aires de tous les triangles blanchis construits au cours de l'étape n. Montrer que pour tout entier n : An =(25√3)/4 * 0,75^n-1
2)Pour tout entier n, on désigne par Sn la somme des aires de tous les triangles blancs obtenus lors des n premières étapes.
a) A partir des représentations graphiques, que peut-on conjecturer sur Sn, lorsque n devient très grand?
b)Montrer que pour tout entier n : Sn=25√3(1-0,75^n) (on pourra utiliser les préliminaires)


Voilà mon dm, je n'arrive pas à aller plus loin étant donner que bloque à la partie A, merci d'avance pour votre aide

exercices suite

Posté par
fenamat84
re : exercices suite 21-09-21 à 08:12

Bonjour,

Revenons sur les préliminaires :
1)a)

Citation :
Initialisation: n=0
u0= (1-q^0+1)/(1-q)
u0=u0 donc vraie


Fais attention à ce que tu écris...
Il manque un u0 devant la fraction : u0 = u0*(1-q^{0+1})/(1-q)... car sinon u0=1 ce qui n'est bien sûr pas cohérent.

L'hérédité est à revoir...
Citation :
u0+u0*q+u0*q^2+...+ u0*q^n+ u0*q^n+1
= u0* (1-q^n+1)/(1-q) * q^n+1
=u0* (1-q^n+1*q^n+1)/(1-q)
=u0 *(1-q^n+2)/(1-q)


A ta deuxième ligne, tes calculs sont faux !
Il suffit de rajouter le terme u0*q^{n+1} des 2 côtés de l'égalité.
u0+u0*q+u0*q^2+...+ u0*q^n+ u0*q^n+1
= u0* (1-q^n+1)/(1-q) + u0*0q^n+1

Et tu réarranges le membre de droite en mettant tout au même dénominateur

Posté par
carpediem
re : exercices suite 21-09-21 à 10:11

salut

Bonjourbon @ 20-09-2021 à 20:56


Hérédité :
HR: supposons que pour tout n E N, existe un rang n tel que : u0+u0*q+u0*q^2+...+ u0*q^n= u0* (1-q^n+1)/(1-q)
faux !!
si c'est pour tout n alors il n'y a rien à démontrer ...

Posté par
fenamat84
re : exercices suite 21-09-21 à 14:07

Bonjour Carpediem,

Bien vu, on ne suppose pas pour tout n, mais pour un entier n naturel...

Posté par
Bonjourbon
re : exercices suite 21-09-21 à 20:53

Bonsoir à tous les deux! Désolée de ne pas avoir pu répondre avant, merci de vos réponses en effet je me rend bien compte que ma récurrence est sérieusement à revoir :')) Je vais essayer de refaire l'hérédité:

Hérédité: HR : supposons qu'il existe un rang n tel que : u0+u0*q+u0*q^2+...+ u0*q^n= u0* (1-q^n+1)/(1-q)
BUT: somme un+1=u0* (1-q^n+2)/(1-q)
On a : (u0+u0*q+u0*q^2+...+ u0*q^n)+ u0*q^n+1
= u0* (1-q^n+1)/(1-q) +u0* q^n+1
=u0* (1-q^n+1*q^n+1)/(1-q)+ (u0* q^n+1)*(1-q)/(1-q)
=u0*(1-q^n+1+q^n+1-q^n+2)/(1-q)
=u0 *(1-q^n+2)/(1-q)

Et du coup la conclusion telle que je l'ai mise avant...
Est ce plus correct de cette manière?

Posté par
Bonjourbon
re : exercices suite 21-09-21 à 20:53

Et pour l'initialisation c'était une faute de frappe désolée :'))

Posté par
fenamat84
re : exercices suite 22-09-21 à 08:10

Ok pour la récurrence.
Passons à la question 1b) :

Citation :
On sait que l'aire d'un triangle équilatéral de côté c est de (c^2√3)/4, donc A=(a^2√3)/4


Certes, mais c'est un peu immédiat comme résultat...
Il faudrait que tu détailles un peu plus ton calcul.

Posté par
fenamat84
re : exercices suite 22-09-21 à 18:20

Quant au problème :
Partie A :
1) Ok
2a) On te demande le nombre de triangles qui ont été blanchis lors de l'étape 2, pas le nombre total de triangles blanchis à l'étape 2...

Pour a2, sachant que le côté du triangle diminue de moitié à chaque étape, que peux-tu de son aire ?

Posté par
Bonjourbon
re : exercices suite 22-09-21 à 18:54

Pour la 1b) je ne comprend pas vraiment comment détailler, il faut faire autre chose que de remplacer c par a?
Et ensuite pour la partie A je crois que j'ai compris mes erreurs:
Partie A:
2)a) u2= u1*1=3*1=3
a2= a1/4= (25√3/4)/4=25√3/16
un+1=3un
pn+1=pn/2
an+1=an/4
b) La suite un est une suite de raison 3 et géométrique
pn est une suite géométrique de raison 1/2
an est une suite de raison 1/4 et géométrique
c) un=3^n-1
pn=15*1/2^n-1
an=(25√3/4)*1/4^n-1
Est ce que tout est correct pour cette partie?

Posté par
fenamat84
re : exercices suite 22-09-21 à 20:14

A question 1b), lorsque je veux dire par "détailler", c'est comment arrives-tu au résultat qu'on te demande ? A savoir que l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est égale à \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.

Tu connais l'aire d'un triangle, et comment calculer la hauteur d'un triangle équilatéral... (en utilisant un théorème bien connu depuis le collège)

Posté par
fenamat84
re : exercices suite 22-09-21 à 20:21

Quant à la partie A :
2a) ok
2b) indique en plus le 1er terme de chaque suite géométrique
2c) N'oublie pas les parenthèses là où il le faut !!
Sinon cela prête à confusion...
Un = 3^{n-1}
Pn = 15*(1/2)^{n-1}
An = (253/4)*(1/4)^{n-1}

Posté par
Bonjourbon
re : exercices suite 22-09-21 à 20:37

Merci je crois avoir trouvé pour b)!!
Du coup voilà ce que j'ai trouvé:
Dans un triangle équilatéral de côté a, j'utilise pythagore pour trouver h: a^2=(a/2)^2+h^2
                       h^2=a^2+(a/2)^2
                       h^2= (3a/2)^2          h=(√3/2)a
Puis je remplace le h dans la formule de l'aire d'un triangle:
A=(a *h)/2 = (a*√3/2a)/2=√3a^2/4
est ce bon?

Posté par
Bonjourbon
re : exercices suite 22-09-21 à 20:39

et pour la 2b je dois mettre par exemple u1=1, p1=15 et a1=(25√3)/4 c'est ça? Sinon je vais essayé de faire plus attention aux parenthèses )

Posté par
fenamat84
re : exercices suite 23-09-21 à 08:10

1b) Très bien.
2b) Pour une suite arithmétique ou bien géométrique, il est préférable que tu précises sa raison ainsi que son 1er terme.
De ce fait, tu peux facilement exprimer la suite Un en fonction de n.

A présent que la partie A est traitée, passons à la partie B.
Vois-tu comment traiter la 1ère question ?

Posté par
ryry3
re : exercices suite 23-09-21 à 15:28

Bonjour

Concernant le Problème 2, Partie A, 2.a. Ne faudrait il pas faire une démonstration ? la vous donnez u2; p2 et a2 et donnez Un+1 en fonction de Un mais sans rien prouver.
de même pour Un en fonction de n, une démonstration par récurrence n'est pas demandé par hasard?

Posté par
ryry3
re : exercices suite 23-09-21 à 15:33

Aussi,


Partie B.Question 1, n'y aurait il pas une erreur dans l'énoncé ? pour le résultat de PN?

Posté par
fenamat84
re : exercices suite 23-09-21 à 19:12

Bonjour ryry3,

A la question 2a de la partie A, il est vrai qu'après les calculs des premiers termes des suite u, p et a, on conjecture seulement l'expression de Un+1 en fonction de Un...
Il faudrait en effet démontrer cela par récurrence pour être rigoureux.

Pour 2c), aucune démonstration par récurrence est nécessaire si on a bien démontré que les suites u, p et a sont géométriques. (formules de cours...)

A la question 1 de la partie B, l'expression donnée est bien correcte ! (si ce n'est l'oubli d'accolades Pn =15*1,5^{n-1} pour chipoter un peu... )



  

Posté par
ryry3
re : exercices suite 26-09-21 à 17:48

Bonjour,

Comment feriez vous pour démontrer cela?

oui autant pour moi, je calculais la somme des périmètre jusqu'à l'étape n et non pas à l'étape n comme demandé

Posté par
Bonjourbon
re : exercices suite 26-09-21 à 21:52

Bonsoir! désolée de mon énorme retard ))
J'avais déjà entamé la partie B donc here we go:
1) Pn= un * pn
            =3^(n-1)* (15*(1/2)^(n-1)
            = 15* 3^(n-1)*(1/2)^(n-1)
            =15*(3/2)^(n-1)= 15*1,5^(n-1)
2) d'après la calculatrice:
Pn dépasse 1m, soit 100cm, à partir de n=6 car:
n5=75,9<100< n6=113,9
Pn dépasse 10km, soit 1000000cm, à partir de n=29 car:
n28<1000000<n29=1,20*10^6

Je ne sais pas trop si c'est la manière correcte de formuler la réponse :'))

Posté par
Bonjourbon
re : exercices suite 26-09-21 à 21:55

et il faut faire une récurrence pour la 1b?? oulah :'))

Posté par
fenamat84
re : exercices suite 02-10-21 à 09:56

Bonjour,

Désolé pour le retard,

La partie B est correcte.
Ensuite, je pense qu'il n'est pas nécessaire pour la question 2a de la partie A de faire une démonstration par récurrence...
Il suffit juste de justifier comment u2, p2 et a2 s'obtiennent à partir de u1, p1 et a1 puis de dire si cela reste vrai d'une étape n à une étape n+1



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1538 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !