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Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..)

Posté par
0smose 07-09-10 à 09:49

Bonjour à tous!

Je profite de ce jour sans transport scolaire pour jeter un oeil a mon exercice que mon prof de maths m'a donné pour lundi prochain. Il a dit qu'il se pourrait qu'il soit noté.. et.. j'ai peur. En effet, l'année dernière j'avais dans les 14 de moyennes en maths, et la, je suis perdu. Je n'ai réussi à répondre a rien du tout.. (peut être le manque d'exercices pendant les vacances..). Voila l'énoncé (je l'ai scanné, plutôt que de perdre un temps fou a mettre en forme, et peut etre que ce soit illisible pour vous..)

** image de l'énoncé scanné effacée **

Voila, j'ai pas envie de passer pour qq'un qui ne veut rien faire ou qui n'a pas de capacité devant mon prof.. mais bon.. la je bloque vraiment sur TOUT l'exercice...

Merci de bien vouloir m'aider!

Benjou.

Edit Coll : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum     

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 10:11

Salut

1a. Tu devrais savoir faire...
5$ \lim_{x\to -1} \frac{1}{1-x} = \frac{1}{2} \\ \lim_{x\to -1^-} \frac{2}{1-x^2} = \frac{2}{0^-} = -\infty

d'où 5$ \lim_{x\to -1^-} \frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{2} - -\infty = +\infty

Ensuite 5$ \lim_{x\to -1^+} \frac{2}{1-x^2} = \frac{2}{0^+} = +\inft

d'où 5$ \lim_{x\to -1^+} \frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{2} - +\infty = -\infty

En 1, ça done une forme indéterminée de la forme ∞ + ∞, alors il faut bidouiller :

5$ \frac{1}{1-x} - \frac{2}{1-x^2} = \frac{1+x}{1-x^2} - \frac{2}{1-x^2} = \frac{x-1}{1-x^2} = -\frac{1-x}{1-x^2} = -\frac{1}{1+x}

En x = 1 ça donne une limite de -1/2.

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 10:12

1b. Tu as calculé f'(x) ?

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 10:15

Merci pour cette reponse!
Ensuite pour f'(x), je pensais faire une changement d'ecriture, car on arrive a une fonction rationnelle. ça peut aider tu penses?

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 10:29

Etant donné que f(x) = -\frac{1}{1+x}, tu peux dériver ça, oui. Ca sera plus simple.

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 10:31

5$ \frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2} = \frac{1+x}{1-x^2} - \frac{2}{1-x^2} = \frac{x-1}{1-x^2} =\,- \frac{1-x}{1-x^2} = \,- \frac{1}{1+x}

Est ce que tu peux développer cette étape s'il te plait? (Sinon, j'ai trouvé 0 en oins l'infinie, et 0 en plus l'infinie pour les limites)

Edit Coll : image supprimée et remplacée par le \LaTeX

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 10:47

5$ \frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2} = \frac{1+x}{(1+x)(1-x)} - \frac{2}{(1+x)(1-x)} = \frac{1+x-2}{(1+x)(1-x)} = \frac{x-1}{(1+x)(1-x)} = \frac{-(1-x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{-1}{1-x}

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 10:56

AAAh merci. Ensuite pour la dérivée, j'utilise la formule d'un quotient? Mais la dérivée de -1=0?

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 10:58

(1/u)' = -u'/u^2

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 11:02

Oui autant pour moi.
on a donc f'(x)= -x/(1+x)²
Pour tout x f'(x) est positif car le dénominateur est toujours positif?

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 11:17

Désolé pour le double post, mais je me corrige: f'(x)= -1/(1+x)²

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 11:23

f(x) = -\frac{1}{1+x}, et donc f'(x) = -\frac{-1}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}

La dérivée est donc en effet toujours positive.

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 11:28

J'avais oublié le moins devant l'expression de F(x).
Ensuite, pour etudier la continuité en 1, il faut calculer l'image de 1 et la limite de f(x) en1? Et s'il y a égalité la fonction est continue en 1?

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 11:32

C'est ça.

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 11:39

Mais Pour prouver la continuité sur tout entier?

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 11:42

A prior, la fonction est continue sur \ {-1, 1}. Si tu montres qu'elle est continue en 1, il ne te reste plus qu'à montrer qu'elle est continue en -1, et tu auras montré qu'elle est continue sur .

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 11:53

Mais, comment prouver qu'elle l'est sur R?\{-1;1}? Je pense pas pouvoir dire qu'elle est continue sur cette intervalle.. c'est ce que je cherche a montrer...

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 11:55

Elle est continue sur - {-1, 1} comme somme de quotients de fonctions continues.

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 12:01

D'accord, mais la limite en 1 n'est pas egale a l'image de 1 par la fonction f... Les deux limites sont differentes..

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 12:03

Les deux valeurs* (encore désolé pour le mutli poste.)

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 12:04

Je n'ai plus l'énoncé, un mod est passé par là...

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 12:09

http://********
Tom_Pascal > ah ah ah.. Je suis modérateur, et ça m'amuse vachement de supprimer à nouveau ton lien, qu'est ce qu'on rigole .

Voila le lien.. (faire vite avant qu'il se supprimé. xD)

Posté par
Bachstelzere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 12:22

La limite en 1 est égale à f(1) = -1/2, donc la fonction est bien continue en 1.

Elle n'est évidemment pas continue en -1, puisque les limites par valeurs sup et inf sont non seulement différentes, mais aussi infinies.

Posté par
0smosere : Exercices sur fonctions (derivations, limites, etc..) 07-09-10 à 12:54

Donc elle n'est pas Continue sur tout entier... Merci! Vraiment merci de m'avoir aider pour cet exercice, je pensais pas avoir des réponses si concrètes et si rapidement! Passez une bonne fin de journée, et a bientôt j'espère! C'était un réel plaisir!


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