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Exerice fonction ln..aide svp
Salut tout le monde profitant de ce dimanche apres-midi je suis sur deux exerice sur les logarithme en vu d'un dst la semaine prochaine.. un peu d'aide m'avancerai beaucoup..merci! d'avance!
Ex 1
On considère la fonction numérique g définie sur[0;1] par:
g(t)=(1-e-t)ln t pour 0<t
1
g(0)=0
(ln désignant la fonction logarithme népérien)
1. Démontrer que lim de (1-e-t)/t =1 lorque t tend vers 0.
2. Démontrer que g est continue sur [0;1]. Etudier la dérivabilité de g sur [0;1] et démontrer que pour tout réel t de ]0;1], g'(t)= (e-t/t)(t ln t + et - 1).
3.Soit la fonction numérique f définie sur ]0;1] par f(t)=t ln t + et -1. Etudier le sens de variation et les valeurs aux bornes de f'. Montrer que f' s'annule une seule fois sur l'intervalle ]0;1] en un point t0 (on ne calculera pas t0). En déduire le signe de f'(t) et le sens de variation de f sur ]0;1]. En déduire que f ne s'annule qu'une seule fois sur ]0;1] pour une valeur t1( on ne calculera pas t1).
4. Terminer l'étude de la fonction g. Tracer sa courbe représentative dans un repere orthonormé (O;
;
). On tracera la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
Ex 2
Soit gn la fonction définie sur ]0;+oo[ par gn(x)=x - n + (n/2)ln x
1.Etudier les variations de gn
Déterminer les limites de gn en 0 et +oo
2.a En déduire l'existence d'un réel positif 
n unique tel quegn(n)=0.
b. Montrer que 1n<e²
c. Montrer que ln()= 2 - (2/n)
Exprimer gn+1(n) en fonction de n et de n. En déduire que n+1>n.
3.a Monter que la suite de terme général n est convergente. On note L sa limite.
b. En utilisant 2.c , calculer la limite de ln(n) quand n tend vers +oo et en déduire L.
Merci d'avance!
Bonjour
Euh .. c'est long ... Pourrais-tu nous indiquer ce que tu as déja fait et ce sur quoi tu bloques réellement ?
Jord
Bonsoir,
Pour l'exercice 1 j'ais fais seulement la question 1.
J'ai en effet multiplié par et afin d'avoir un résultat du cours et obtenir (et-1)/1 d'où sa limite quand t tend vers 0 égale 1.
ensuite la question 2 je trouve k la fonction n'est pas continu en 0 donc ca ma bloqué..j'ai dut faire une erreur quelque part !
Pour l'exercice 2, question 1 j'ai dérivé mon gn(x) et je trouve alor gn'(x)=1/2x mais je ne suis pas sur de ma dérivée car je ne sais pas tro comment considéré mon n dans l'expression de gn(x)
Serait il possible d'avoir un peu d'aide ? merci d'avance !
comment puis-je prouver que ma fonction est continue ?? faut -il utiliser la propriété qui est lim f(a+h) =f(a) qd h tend vers 0 qui prouve que la fonction f est continu???
dite moi? la fonction g(t) est-elle dérivable en 0? je trouve que oui en faisant le taux de variation..
ah nan c bon elle n'est pas dérivable en 0 je trouvais 1 comme limite ! mais j'avais oublioé le ln t.. dc je trouve maintenant comme limite -oo donc elle n'est pas dérivable 
en 0.
Voila ce que j'ais fais pour l'instant...
Exercice1
1. (1-e-t)/t = (et-1)/t
d'où lim (et-1)/t qd t tend vers 0 = 1
2. Lim g(t) qd t tend vers 0 = 0 donc la fonction g est continue sur [0;1].
Etude de la dérivabilité de g en 0
g(t)-g(0) / t-0 = ((1-e-t)ln t)t d'où sa limite =+oo qd t tend vers 0 dc dérivable en 0
Etude de la dérivabilité de g en 1
g(t)-g(1) / t-1 =(1-e-t)lnt / t -1 d'où sa limite quand t tend vers 1 est 0 dc dérivable en 1
et enfin en dérivant g(t) je trouve bien le résultat a démontrer.. pour l'instant ai-je bon??
re
1) en écrivant je ne vois pa comment tu determine la limite car :
d'une part au numérateur
et donc
d'autre part au dénominateur
on se retrouve donc avec
2)en ecrivant donc g continue sur [0;1]
>> revois la definition du cours
3)en ecrivant est tu sure d'avoir bien regarder la fonction ??
...
revois pour ces quelques remarques
1) pour la question 1 c un définition du cours sur la limite de l'exponetielle.. qui dit lim lorsque x tend vers 0 de (ex-1)/x = 1 c'est une conséquence de la dérivabilité de l'exponentielle en 0 .
2) désolé jme suis trompé ! je voulais écrire limite g(t)=g(0)=0 qd t tend vers 0
3) je n'ai pas compris..
d'accord ja n'avais pa vu cela en 1) car la redaction n'est pa trés correcte ...
pour la 3) dis moi se que vaut g(0)
...
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