Bonjour,

Soit  F l'application de  Rn[X]  dans  R^(n+1)
qui à  P(X)   associe  (P(a0),..., P(an)) .
Ton exercice revient à prouver que  F  est bijective, comme  F  est linéaire il te suffit de montrer qu'elle est injective...ce que je te laisse faire parce que c'est facile!

lolo

bonjour Mlle papillon,

connais-tu les déterminants, car j'ai une solution avec les déterminants.

posons

on a

donc n+1 équations :


...


où les n+1 inconnues sont les bk

sous forme matricielle cela donne :


message édité, Océane

désolé pour pour l'affichage, mauvaise maitrise de latex..

merci mais je n'ai pas encore vu les déterminants et les matrices c'est le prochain chapitre ( c'est écrit sur le programme de colles
pour la première réponse je ne vois pas trop ce que vous voulez dire, j'ai déjà étudier l'application F dont vous me parlez et j'ai déjà montrer qu'elle est bijective mais j'ai du mal à voir le lien avec f, je dois montrer que f = F ?
merci bien

merci bien à disdrometre pour tout les effort, je me rejouis d'apprendre tout cela ça à l'air fort interessant... et surtout un bon outil

Bonjour.
As-tu vu la dualité ? Si oui, tu peux chercher la base de dont la duale est formée par les n+1 formes linéaires définies par .
Cordialement RR.

non je n'ai pas vu la dualité...encore tant de choses à apprendre...

Comme  F  est bijective, le  n+1-uplet

(f(a0),..., f(an)) a un unique antécédent par  F !

c'est le polynôme que tu cherches.

lolo

hello again,

tu connais les espaces vectoriels ? donc les bases ?

soit tous les ai sauf ak

je te dis Lk est une base de Rn[X]  car les ak sont différents 2 à 2( je te laisse le démontrer )
et Lk(ak) est non nul car ak n'est pas racine  de Lk



on a bien P(ak) = f(ak), par construction P existe et est unique.

que penses-tu  ?

K.

Bonsoir,

  Je suis désolée mais je n'y arrive toujours pas. J'ai l'impression qu'avec vos constructions, vous déterminez plus l'application que le polynôme . C'est peut-être moi qui ai mal compris, mais je ne vois pas comment montrer l'existence de ce polynôme.

Merci d'avance et bonne soirée,

melle papillon

Bonsoir Melle papillon

As-tu déjà vu les espaces vectoriels de dimension finie ?

Kaiser

Oui... c'est tout nouveau pour moi

Bonsoir Melle Papillon

Dans ce cas, je te conseille d'utiliser ce que lolo217 préconisait.
Comme il (ou elle) le disait, considérons l'application suivante :



Cette application est clairement linéaire et résoudre ton exercice revient exactement à montrer la bijectivité de cette application.
Or les deux espaces vectoriels en question sont tous les deux de dimension égale à n+1. Il suffit donc de montrer l'injectivité, c'est-à-dire en montrant que son noyau est réduit au polynôme nul.

Kaiser