Salut !  

Pas de problème avec la démarche générale:
a) montrer que la somme est directe.
b) montrer que l'espace tout entier est inclus dans la somme

A noter que l'inclusion "E1 + E2 inclus dans R^3" n'a pas a être montrée... C'est évident. La somme de deux... sev d'un espace E ne peut pas être plus grand que E, c'est encore un sev de E.

En avant!

biondo

Pour montrer que E1 et E2 sont en somme directe, tu peux :

1°) Montrer que la réunion d'une base de E1 et de E2 est une base de
2°) Montrer que Dim(E1)+Dim(E2)=3 et E1E2={}
3°)Montrer que x=x1+x2 et E1E2={}

J'aime bien la 1ere méthode, tu cherches une base de chacun de tes sev et tu montres que la réunion est une base de .

Nicoco

Et y'a aussi la méthode de Biondo effectivement

Merci à vous deux. Je m'y lance

Par contre je n'ai pas encore vu les bases, et je n'ai pas encore vu non plus les histoires de dimension. Il me reste donc la méthode de Biondo ou la 3) de Nicoco. Par contre quand tu écris 3°)Montrer que x=x1+x2 , est ce que ça veut dire que je dois montrer que tout vecteur de IR^3 peut s'écrire comme la somme d'un vecteur de E1 et d'un vecteur de E2?

Bonsoir,

Oui tu as rasion.
Le 3° de Nicoco est en fait la méthode que je propose (j'avais un avantage, je me doutais bien que tu n'avais pas encore vu les bases et les dimensions...)

Un début.
E1 et E2 sont des ss-ev de IR^3. Donc le vecteur nul appartient à E1 inter E2.
Supposons qu'il existe v=(x,y,z) commun à E1 et E2, différent du vecteur nul.
v appartient à E2. Donc v= (0, y,z)
Et v appartient à E1. Donc v= (0,0,0)
Il y a donc contradiction.

Donc E1 inter E2 = {0}

Je ne sais pas trop comment m'en tirer. voilà ce que j'ai écrit.

Soit u= (x,y,z) un vect de IR^3

Soient f= (a,a,a)  un élément de E1
    et g= (0,y', z')  un élément de E2

f+g= (a,y'+a, z'+a)

On a f+g= u si et seulement si
a=x
y'+a= y
z'+a =z

a=x
y'+x = y
z' +x =z

Donc pour tout élément u de IR^3, il existe f appartient à E1 et g appartient à E2 tels que
u = f+g

donc  IR^3  E1 +E2  (en somme directe)

Il me semble que j'arrive à "voir" que ça marche, mais je ne sais vraiment pas comment le montrer.

Ok.

Plutot pas mal pour une premiere fois.

Voial comment je le ferais, moi (attention, je melange comme d'habitude les commentaires sur ce que tu fais et la demo proprement dite...):


Montrons que la somme est directe:
Soit u = (x,y,z) dans E1 inter E2 (inutile de preciser que 0 est dedans... enfin c'est vrai, mais a mon avis c'est quand meme relativement evident. Enfin bon au debut, je ne sais pas. Vois avec ton prof).
Je ne le ferais pas par l'absurde, puisque la preuve directe est la (d'ailleurs tu l'as fait):

u est dans E1 donc x=y=z
u est dans E2 donc x= 0.

Donc x=y=z=0, u=0.

Voila voila.


Ensuite, maintenant que la somme est directe, montrons que la somme vaut l'espace.
Soit u = (x,y,z) un vecteur de R3.

u = (x,x,x) + (0, y-x, z-x)

le premier est dans E1, le deuxieme est dans E2. cqfd.




A mon avis, il faut eviter de se perdre (je sais, je suis mal place pour dire ca) dans les calculs en montrant que "si on veut exprimer u en fonction de f et g, alors f doit verifier machin et g bidule, et donc une condition suffisante est que bla bla, donc necessairement bidule et la solution trouvee convient". Tu vois le genre? Mais c'est normal au debut, parce que au brouillon, c'est comme ca qu'on trouve f et g. Seulement personne n'a besoin de savoir qu'on a fait plein de calculs a cote. Ils n'ont qu'a les faire eux-meme.


Ok?

Ah oui. Pour l'anecdote:

mon prof de l'epoque appelait ca "exhiber une solution".

C'est joli ça "exhiber une solution"

Ok tout est clair. Je commence à m'y retrouver un petit peu plus. Je suppose que petit à petit, je vais arriver à savoir quelles propriétés je dois mobiliser...
Mais je trouve ça difficile tout ça. On a enchaîné 10 pages de cours avant d'entamer les exos. Ca fait beaucoup d'un coup.
Merci à vous.

A propos de que tu dis biondo (ne pas écrire comment on a trouvé la solution), un prof m'a dit un jour que la différence entre les maths et la philosophie, c'est qu'en maths on met le brouillon à la poubelle (mais il ne voulait dire du mal de la philosophie).

c'est qu'en maths on met le brouillon à la poubelle