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Exo classique
BOnsoir à tous,
C'est mon premier message ici ..
moi et ma copine travaillons sur un tit exo conernant les groupes sur lequel nous sèchons pas mal de temps (je le poste ici comme ailleurs histoire d'avoir plusiers opinions à propos)
alors en fait :
On considère le groupe alternée, A_4 le but de l'exo est de montrer qu'il ne contient aucun sous groupe d'ordre 6,
on raisonne par l'absurde, supposons que H est un sous groupe de A_4 d'ordre supérieur ou égal à 6,
j'ai montré qu'il est distingué, j'ai montré qu'il contient 8 3-cycle, J'ai montré qu'il contient 3 double transposition,
la question que je me pose moi et ma copine, c'est comment montrer que H contient au moins un 3cyccle , et comment en déduire qu'il contient au moins 4 3cycles.
bon pour le cas où H = A_4 ( H contient 8 3-cycles.. )
Pourriez vous nous aider s'il vous plaît ?
merci d'avance
Bonjour 
j'ai montré qu'il contient 8 3-cycle
comment montrer que H contient au moins un 3cyccle
Si tu as montré qu'il en contient 8, c'est qu'il en contient au moins un, non?
Fractal
Ah, je crois que j'ai compris.
T'as montré que A_4 contient 8 3-cycles, mais pas H.
Supposons que H contienne moins de 4 3-cycles.
Etant donné que c'est un groupe, il contient un nombre pair de 3-cycles (car s'il en contient un, il contient son inverse), donc H en contient 0 ou 2.
Or il ne peut en contenir 0, car il ne possèderait au maximum que 4 éléments (les trois doubles transpositions et l'identité) donc H possède deux 3-cycles opposés, les trois doubles transpositions et l'identité.
Il suffit ensuite de voir que la composée d'une double transposition, d'un 3-cycle, puis de la même double transposition donne un 3-cycle différent des deux qui sont dans H : contradiction.
Ainsi H contient plus de deux 3-cycles, soit au moins 4.
Fractal
salut,
je ne comprend pas ton raisonnement. Par l'absurde , ne doit-on pas supposer que A4 contient un sous groupe H d'ordre 6 ?
J'ai déjà fait cet exercice en TD il y a ....pas si longtemps. On avait montré (en partant du fait qu'il existe un sous groupe H d'ordre 6) qu'il existe un sous groupe de H d'ordre 4 ce qui contredit le théorème de Lagrange. Mais cette méthode n'est pas simple... Elle utilise le théorème de Cauchy, qui justifie l'existence d'un élément d'ordre 2 et un d'ordre 3 de H...
Tu trouveras la correction dans le livre : algèbre et géométrie de F. Combes en rayon de toutes les bonnes B.U. (ou dans les librairies universitaires) si cela t'intéresse.
Si si, mais tu l'avais déjà dit qu'on supposait que A_4 contienne un sous groupe H d'ordre 6.
Moi j'ai supposé que H existait (implicitement), et j'ai montré par l'absurde qu'il possèdait au moins 4 3-cycles.
Fractal
Bonjour Fractal
comment montrer que H contient au moins un 3cyccle , et comment en déduire qu'il contient au moins 4 3cycles.
Pourrais je savoir comment tu as fait pour démontrer que H contenait
au moins un 3-cycle?
Pour le reste c'est d'accord s'il en contient un il en contiendra 4 mais encore faut il qu'il en contienne au moins un,non?
J'avais pensé qu'il fallait en plus préciser d'abord que par définition A4 contient les composées de 2 transpositions (à cause de la signature) et que donc H aussi (en tant que sous groupe) et que de plus un composé de 2 transpositions donne un 3-cycle, non? ((a,b)(a,c) = (a,c,b))
A4 contient :
- l'identité
- les 3 doubles transpositions
- les 8 3-cycles
et c'est tout, puisqu'il est de cardinal 12.
Donc s'il ne contenait aucun 3-cycle il serait inclus dans l'ensemble {doubles transpositions + identité} qui est de cardinal 4, donc H serait de cardinal inférieur ou égal à 4, ce qui est absurde, étant de cardinal supérieur ou égal à 6.
Fractal
(et aussi l'ordre de An=n!/2).
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