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Exo de récurrence
Voilà j'ai un DM à faire et je bloque sur 2 questions d'un exo :
Soit f la fonction désinie sur l'intervalle [0;2] par f(x)= (2x+1)/(x+1)
1.b: Montrer que si x appartient à [0;2] alors f(x) appartient à [0;2].
2b : u(n) et v(n) sont deux suites définies par :
u0 = 1
u(n+1) = f(u(n))
v0 = 2
v(n+1) = f(v(n))
Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence les propriétés suivantes :
pour tout entier naturel n, 1 <(ou égal) v(n) <(ou égal) 2
pour tout entier naturel n, v(n+1) <(ou égal) v(n)
Merci d'avance pour votre aide.
Bonsoir,
Connais tu le raisonnement par récurrence ?
Voici le principe :
Soit Pn une propriété ( ici, Pn: " 1
V(n)2 ")
On veut montrer que cette propriété est vraie pour tout entier naturel.
Pour cela, 3 étapes:
1°) On montre que la propriété est vraie pour n=0
2°)Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 0, pour lesquel Pn est vrai.( On suppose que Pn est vraie pour ce 'n' )
On montre que Pn est vraie pour l'entier suivant n+1
3°)On a montré que la propriété est vraie pour n=0, et est héréditaire ( c'est à dire si elle est vraie pour un n, alors elle est aussi vraie pour l'entier suivant), on en conclue donc qu'elle est vraie pour tout n
Voilà, si tu comprends ce raisonnement, à toi de l'appliquer à tes peorpiétés 
Je connais le raisonnement par récurrence mais je n'arrive pas à l'appliquer à ce cas.
1.f(x)>0 évidente puisque x>/0
etudie le signe de f(x)-2 pr prouver la 2ème inégalté.
2.ds le raisonnement il faut utiliser les variations de f qui est croissante sur l'intervalle [0,2]
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