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Exo défi (niveau facile) > suites et intégrales

Posté par
lolo248 24-05-09 à 12:53

Je suppose que cet exo est très facile pour certains d'entre-vous
En tout cas moi je galère J'arrive à répondre à la question 3 et utilisant les résultats des 2 premières questions mais je n'arrive pas à démontré les résultats des 2 premières questions...

1/ Démontré que $\forall n \in \mathbb{N}$ * $, \int_1^{e} ln(t)^n dt \le e-1$

2/ $\forall n \in \mathbb{N}$ * $, I_n = \frac{(-1)^n}{n!}\int_1^{e} ln(t)^n dt$

Démontré que $\forall n \in \mathbb{N}$ * $, I_{n+1}-I_n = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}e$

3/ En déduire $\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$

Bonne recherche!

ps : Mon professeur de terminale nous affirme qu'il à tiré cet énoncé d'un sujet de bac... ça sent le si on tombe sur quelquechose de ce style cette année!!

Posté par re : Exo défi (niveau facile) > suites et intégrales 24-05-09 à 13:23

1) sur [1;e] quelles sont les bornes de ln(t) ?
2) ça pue l'IPP, tu ne trouves pas ?

Posté par re : Exo défi (niveau facile) > suites et intégrales 24-05-09 à 21:20

Pour la 1 j'ai enfin trouvé!!!

$1 \le t \le e$

$\Longleftrightarrow ln 1 \le ln t \le ln e$

$\Longleftrightarrow 0 \le ln t \le 1$

$\Longleftrightarrow 0 \le (ln t)^n \le 1$

$\Longleftrightarrow 0 \le \int_1^{e} (ln t)^n dt \le \int_1^{e} dt$

$\Longleftrightarrow 0 \le \int_1^{e} (ln t)^n dt \le e-1$

Par contre c'est pour la question 2/ que je bloque encore et toujours, j'y est passé des heures. j'ai essayé le calcul de $I_{n+1}-I_n$ , la récurrence mais rien n'y fait!

dhalte > C'est quoi l'IPP?

Je remercie d'avance ceux qui voudrait bien m'aider pour la 2

Posté par re : Exo défi (niveau facile) > suites et intégrales 24-05-09 à 21:22

Salut

dhalte étant parti je me permets de répondre :

IPP = intégration par parties

Posté par re : Exo défi (niveau facile) > suites et intégrales 24-05-09 à 21:34

Merci gui_tou, mais j'avais déjà essayé l'intégration par parties sans succès

Posté par re : Exo défi (niveau facile) > suites et intégrales 25-05-09 à 02:50

Et pourtant.

Mais il y a une astuce : v'=1

Posté par re : Exo défi (niveau facile) > suites et intégrales 25-05-09 à 18:04

J'ai finalement trouvé tout seul, merci quand même à ceux qui ont postés.

J'avais déjà pensé à posé v'(t) = 1 et donc v(t) = t mais visiblement je m'était trompé dans le calcul de la dérivée de $(ln t)^{n+1}$ C'est $n \times \frac{1}{t} \times (ln t)^n$ et non pas $(n+1) \times (ln t)^n$

Posté par re : Exo défi (niveau facile) > suites et intégrales 25-05-09 à 21:07

ce que tu asécrit est faux (c'est peut-être qu'une erreur d'inattention), la dérivée de $t$ $ln(t)^{n+1}$ est $t$ $\frac{(n+1)ln(t)^n}{t}$

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