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exo dérivée avec une asserole
bonjour, Objet du problème : créer un modèle de casserole tel que
pour un volume donné, la surface d'inox nécessaire soit minimale.
1 - On appelle R le rayon du fond de la casserole, et H sa hauteur.
Exprimer son volume V et la surface S d'inox en fonction de
R et H.
2 - On décide dans un premier temps de fabriquer des casseroles d'un
volume de 3 litres.
Exprimer H en fonction de R . En déduire S en fonction de R .
3 - Soit f la fonction définie sur I = ]0;15] par : f (x)= 
*x^2+(6/x) ou f(x)=( *x^3+6)/x
a dresser le tableaude variation de la fonction f
b - Quelle est la valeur du minimum Y0 pour la fonction f ? En quelle
valeur X0 est-il atteint ?
c - Calculer 1=3/( *X0^2)Que remarque-t-on
4 - Plus généralement, on décide de fixer V, (on suppose donc V donné)
a - Exprimer H en fonction de R et de V . En déduire S en fonction
de R et de V
b - Etudier la fonction S de la variable R définie sur I = ]0;15] par
S (R) . Notamment, on
donnera les coordonnées (Ro; So) du point correspondant au minimum de la
fonction S (R) .
c - Application numérique : Calculer l'abscisse Ro du point correspondant
au minimum de la fonction S (R) et en déduire la valeur de la hauteur
correspondante Ho dans chacun des cas suivants :
i-V1=1.5 l
ii-V2=2.5 l
iii-V3=3.5 l
1/ On veut le volume d'un cylindre... Soit V=Surface du disque*hauteur
D'où V=Pi*R^2*H
La surface d'inox est égale à la surface du fond plus celle du
bord, qui correspond à un rectangle de hauteur H et de longueur le
périmètre du fond 2*Pi*R
D'où S=Pi*R^2+2*Pi*R*H=Pi*R (R+2H)
2/ V=3 Donc H=V/(Pi*R^2)=3/(Pi*R^2)
De même, S=Pi*R (R+6/(Pi*R^2))=Pi*R^2+6/R
3/ a/On constate qu'on retrouve 2/ si x=R...
On calcule la dérivée de f:
f'= 2*Pi*x^-6/x^2
f'=0 pour (3/Pi)^(1/3), négative avant, positive après. Donc décroissante
puis croissante.
b/ Le minimum est atteind pour (3/Pi)^(1/3). On calcule donc f((3/Pi)^(1/3))=9/(3/Pi)^(1/3)
c/le calcul donne Xo=(3/Pi)^(1/2)
4/a/H=V/(Pi*R^2)
De même, S=Pi*R (R+2V/(Pi*R^2))=Pi*R^2+2V/R
b/on étudie les variation de s(R)=Pi*R^2+2V/R
s'(R)=2*Pi*R-2V/R^2
s' s'annule pour (V/Pi)^(1/3),décroissante avant, croissante après...
Ro=(V/Pi)^(1/3), So=3V/(V/Pi)^(1/3)
c/calculs à faire...
Envoie un mail en cas de pb.
1)
On suppose la casserole cylindrique et sans couvercle.
Aire du fond; Pi.R²
Aire latérale: 2.Pi.R.H
S = Pi.R² + 2.Pi.R.H
V = Pi.R².H
-----
2)
V = 3
Pi.R².H = 3
H = (3/Pi)/R²
-> S = Pi.R² + 2.Pi.R.(3/Pi)/R²
S = Pi.R² + (6/R)
-----
3)
a)
f(x) = Pi.x² + (6/x)
f '(x) = 2.Pi.x - (6/x²)
f '(x) = (2.Pi.x³ - 6)/x²
f '(x) = 2(Pi.x³ - 3)/x²
f '(x) < 0 pour x dans [0 ; Racine cubique(3/Pi)[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = Racine cubique(3/Pi)
f '(x) > 0 pour x dans ]Racine cubique(3/Pi) ; 15[ -> f(x) croissante.
---
b)
f(x) est minimum pour x = Racine cubique(3/Pi), ce minimum vaut f(Racine
cubique(3/Pi)) = 9,139...
---
c)
3/(Pi.xo²) = 3/(Pi.(3/pi)^(2/3)) = (3/pi)^(1 - (2/3)) = racinecubique(3/pi)
et donc: 3/(Pi.xo²) = xo
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4)
a)
V = Pi.R².H
H = V/(Pi.R²)
S = Pi.R² + 2.Pi.R.H
S = Pi.R² + 2.Pi.R.V/(Pi.R²)
S = Pi.R² + (2.V/R)
---
b)
S(R) = Pi.R² + (2.V/R)
S'(R) = 2.Pi.R - (2V/R²)
S'(R) = 2.(Pi.R³ - V)/R²
S'(R) < 0 pour R dans [0 ; racinecubique(V/Pi)[ -> S(R) est décroissante.
S'(R) = 0 pour R = racinecubique(V/Pi)
S'(R) > 0 pour R dans [racinecubique(V/Pi) ; 15] -> S(R) est croissante.
S(R) est minimum pour R = racinecubique(V/Pi).
Ro = racinecubique(V/Pi)
So = S(racinecubique(V/Pi)) = Pi.racinecubique[(V/Pi)²] + (2.V/racinecubique(V/Pi))
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c)
Les calculs sont pour toi.
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Sauf distraction. Vérifie. 
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