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Niveau terminale
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Exo fonction exp et trigo

Posté par
sandwich
17-02-16 à 21:39

Bonjour, j'ai un exercice à faire niveau terminal S et je suis bloquée. Pouvez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
On note f la fonction définie su R par f(x)= e^{-cosx}  
1.a. Justifier que f est paire et 2pi -périodique.
J'ai réussi à trouver en faisant f(-x)=f(x) et f(x)=f(x+2 pi )
1.b. Construire le tableau de variation sur [0; pi ]
On trouve qu'elle est croissante et strictement positive (allant de  e^{-1}  à  e^{1}  .
1.c Tracer la courbe C.
Ce que j'ai fait
2. On se propose de rechercher les tangentes à C passant par l'origine du repère. a est un nombre et A le point de C ayant pour abscisse a. Ecrire une équation de la tangente en A à C et prouver que cette tangente passe pas 0 si et seulement si a sin a = 1 .
J'ai trouvé en faisant avec la formule de l'équation de la tangente.

Ensuite, je bloque,
3. On définit la fonction P sur ]0; pi ] par P(x)=sin(x) -  frac{1}{x}

a. Etudier les variations de P. (On pourra étudier les variations de P'' pour déterminer le signe de P')....
Alors j'ai commencé par dériver
P'(x)= cos x + frac{1}{ x^{2} }
P''(x)=-sin x -  frac{2}{ x^{3} }
P'''(x)= -cos x + frac{6}{ x^{4} }
J'ai tout ça mais je n'arrive pas à étudier le signe des dérivés, je ne sais pas pourquoi...

Posté par
luzak
re : Exo fonction exp et trigo 17-02-16 à 23:00

Bonsoir !
Le signe de P''(x) me semble évident  sur ]0,\pi] !
Mais n'espères pas trouver une formule simple pour la nullité de P' : tu devras te contenter de dire l'existence d'un a, à situer le mieux possible, tel que P'(a)=0 et donner le signe de P'.

Posté par
sandwich
re : Exo fonction exp et trigo 18-02-16 à 17:20

Merci beaucoup ! En effet, c'est évident... Du coup, P" est négatif sur ]0;pi]. Donc P' est strictement décroissant sur le même intervalle et prend ses valeurs entre 1 et -1+1/pi^2.
Mais je n'arrive pas à résoudre l'équation
cos x +1/x^2 =0
cos x = -1/x^2
x^2 * cos x = -1
Mais après... ? Pourriez-vous m'aider encore un peu s'il vous plait ?

Posté par
sandwich
re : Exo fonction exp et trigo 18-02-16 à 17:22

Ou alors, peut-être faut-il trouver un encadrement de la valeur cherchée grâce au tableau de valeurs dans la calculatrice ?

Posté par
sandwich
re : Exo fonction exp et trigo 18-02-16 à 17:56

Finalement je pense avoir trouver... Merci beaucoup



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