On pose P(x) = x^3+ ax^2 + bx + c, (a,b,c 3 réels donnés). On note (C) la courbe d'équation P(x) - P(y) = 0.

1] Démontrer que C est la réunion d'une droite D et d'une courbe (E).

2] Ecrire une équation de (E) dans le repere (O,I,J) déduit du repere (O,i,j) par une rotation de centre O et d'angle Pi/4.

3] En déduire la nature de (E).

4] Lorsque (E) est une ellipse, calculez son excentricité.


Ce que j'ai " essayé" de faire :

1) p(x)-p(y)= (x-y).(x²+y²+ax+ay+xy+b) donc C est la réunion d'une droite D et d'une courbe (E).
2) I = Rac(2)/2 (i+j) et J = Rac(2)/2 (j-i)
on a donc (E):1/2 X² + 3/2 Y² + a Rac(2) Y + b = 0   (dans le repere (O,I,J)).
(Je ne suis pas sur du tout pour cette question)
3) E est une conique (je ne suis pas sur et je ne sais pas non plus comment justifier)
4) Etant incertain des questions précédentes je sui dans l'incapacité de la faire.