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exo non compris
bonjour tout le monde, j'ai eu un devoir de math cet après midi et sur les nombreux même très nombreux exercices que nous avons eu en voila un qu'il m'a été impossible de reussir...
Méthode d'approximation de héron d'une racine carrée.
Soit a>0 on définit la suite Un par:
Uo>0 U(n+1)= 1/2 (Un + a/Un)
a)Etude de convergence de Un. L'objectif est ici de montrer que la suite Un tend vers 
a. On va étudier dans cette partie la fonction de récurrence:
f:R+* -> R f(x)=1/2 (x + a/x)
1)Calculer si il y en a des points fixes de f
2)Faire une étude de variation de f et trouver l'image de f.
3)Déduire que les intervalles I=]0;+00[ et I2=[a; +00[ st stables pour f.
4)En déduire que quelque soir la valeur initiale U0>0 on a
Un
[a; +00[ pour tt n>1
5)En étudiant le signe de la fonction g(x)=f(x)-x sur I2 montrer que pour tt U0>0 la suite Un est décroissante à partir du rang 1 c'est à dire que:
U(n+1)>Un pour tt n>1
6)Montrer que pour tout UO>0 la suite Un est minorée.
7)Déduire que Un est convergente et trouver sa limite
8) illustrez votre démonstration avec une représentation graphique.
voila comme je n'aurai pas de corrigé de ce devoir et que je ne parviens pas a faire cet exercice, j'espere que vous pourrez m'aider au mieux; encore merci
1) points fixes x=(x-a/x)/2 soit x=a/x , x²=a donc x=±rac(a)
2) le graphe de f est une hyperbole de centre 0 d'axes x=0 et y=x/2
3) Si x>0 f(x)>0 et f'(x)=(1-a/x²)/2 donc f'(x)>0 pour x>rac(a) donc f(x)> f(rac(a))=rac(a)
4) Le point fixe rac(a), rac(a) est le minimum de la branche positive de l'hyperbole : pour tout u>0, f(u)>rac(a) donc Un>rac(a) pour tt n>0
5) f(x)-x=(a/x-x)/2 est du signe de a-x², donc négatif si x>rac(a)
donc Un+1-Un<0 pour tt n>0
6) le point fixe est le minimum de f donc Un est minoré par rac(a)
7) une suite décroissante minorée est convergente; elle converge vers le point fixe
8) Une suite d'escaliers entre l'hyperbole et la 1ère bissectrice illustre la convergence...
o merci bien serai je peut etre un petit peu trop exigente si je demandais a avoir un ppeu plus de détail comme cela je pourrai faire un corrigé pr mes camarades
Si tu ne fais pas l'effort d'essayer de rédiger derrière, tu ne tireras pas profit de la connaissance de la solution...
bonjour moi aussi j'ai eu cet exo a faire; le début est plutot simple par contre moi c'est la fin qui me pose pb, la voici:
l'objectif est mnt d'obtenir une estimation de l'erreur d'approximation de racine de a pas Un en fonction de n. Cette erreur est notée En=Un-a
Montrer que pr tt n>1 U(n+1)-a= ((Un-a)²)/2Un
Soit k>0 tq U1-a<k. Montrer que pr tt n>1
En<2a((k/2a))^(2^(n-1))
Appliquer: calculer 10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule en prenant U0=2
merci d'avance
y=(x+a/x)/2 ; notons b=rac(a)
y-b=(x+b²/x)/2-b=(x²-2bx+b²)/2x=(x-b)²/2x
d'où la relation demandée
Si u1-b<k=2b*(k/2b) , u2-b<k²/2u1<k²/2b=2b*(k/2b)² et en itérant un-b<2b*(k/2b)^(2^(n-1))
j'ai compris le raisonnement merci bcp, mais comment feriez vous en ce qui concerne l'application
pour obtenir 8 chiffres après la virgule sur un nombre voisin de 3,1 , il faut 2b*(k/2b)^(2^(n-1))<10^-8
On sait que 3,16<b<3,17: en partant de 3,16 , k<0,01 et k/2b<0,0017 et 2b(k/2b)^4<10^-8 donc il suffit de n=3 itérations pour obtenir la précision voulue
heu...j'ai essayé de calculer par rapport a ce que tu me donne au dessus mais je n'y parvient pas; pourrais tu me détailler stp
Pardon, je n'avais pas lu U0=2 !
On sait que 3,16<rac(10)<3,17 donc k<1,17, 2b>6,32 et k/2b<0,185
il faudra donc que 2^(n-1)>(-8-log(2b)/log(k/2b)>(-8-log(6,32))/log(0,185)=12 (log logarithme décimal)
donc n-1>=4 et n=5
Une simulation avec excel montre que la valeur cherchée (3,16227766) est en fait obtenue dès la 4ème itération; mais c'est parce que on avait établi la formule à partir de U1!
En fait, c'est bien 4 itérations; si l'on part de U0, la formule devient En<2b(k/2b)^(2^n)
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