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Exo oral mines algebre
Rebonjour à tous.
C'est les revisions pour les oraux alors je fais des exos.je bloque sur l'un d'eux:
Soient u et v deux endomorphismes diagonalisables tel que u^3=v^3
Montrer que u=v
Bonsoir,
est ce que ce sont des endomorphismes d'un espace à dimension finie ?
Et dire qu'un endomorphisme est diagonalisable revient-il à dire qu'il admet dans une certaine base B une matrice diagonale ?
Salut !
hatimy : oui, c'est en dimension finit, et oui c'est bien ce que veux dire diagonalisable.
sans hypotheses suplaimentaire c'est faux
prend par exemple la rotation du plan d'angle 2Pi/3 et l'identité.
ou alors on parle d'un R espace vectorielle ? si c'est le cas il va falloir utiliser cette hypothese de facon essentielle.
Soit x vecteur propre de u, de vp k
u3(x) = k3 x = v3(x)
donc x est vecteur propre de v3 de vp k3
Or les vecteurs propres de v3 sont les vecteurs propres de v avec pour vp les puissances 3 des vp de v , car v est diagonalisable
donc il existe y vecteur propre de v, de valeur propre racine cubique de k3 soit k.
Dans l'autre sens c'est pareil.
Donc u et v ont les mêmes vecteurs propres affectés des mêmes valeurs propres donc sont égaux.
Sauf erreur.
"Or les vecteurs propres de v3 sont les vecteurs propres de v avec pour vp les puissances 3 des vp de v , car v est diagonalisable"
c'est faux.
Enfin, c'est vrai mais uniquement parceque 3 est impaire et qu'on est en dans un espace vectorielle réel... bref c'est pas du tous evident et demande d'etre justifié.
par exemple, si on prend u une symétrie. u est diagonalisable, u²=Id donc tous vecteur est vecteur propres de u², mais pas vecteur propre de u pour autant !
par exemple, si on prend u une symétrie. u est diagonalisable, u²=Id donc tous vecteur est vecteur propres de u², mais pas vecteur propre de u pour autant !
Que répondre?
donc il existe y vecteur propre de v, de valeur propre racine cubique de k3 soit k.
En fait, c'est cette phrase qui me semble correcte
peut-etre, mais ca va utiliser de facon essentielle le fait que v est diagonalisable (si on la retire on trouve des contre exemple)
je pense que ce qu'il faut montrer, c'est que les base de diagonalisations de v^3 et de v sont les memes.
apres il suffit de ce placer dans une base qui diagonalise u^3=v^3, et donc qui diagonalise u et v aussi et le probleme sera résolue.
Pouvez-vous m'indiquer mon erreur dans le raisonnement suivant :
Soit B =(e1;...;en) la base où u admet une matrice diagonale.
B'=(e'1;...;e'n) la base où v admet une matrice diagonale.
On peut écrire : ei = sum(aj*e'j,j=1..n) avec les aj des scalaires.
donc : u(ei) = u^3(ei) = v^3(ei) = sum(aj*v^3(e'j),j=1..n) =sum(aj*v(e'j),j=1..n) = v(sum(aj*e'j),j=1..n) = v(ei)
On en déduit que : v=u.
les base de diagonalisations de v^3 et de v sont les memes
Question: on est en dimension finie, ou pas?
et "Diagonale", ca ne veut pas dire l'identité, on a U(ei)=li*ei
ou li est la valeur popres associé a ei.
donc on a pas U^3(ei)=U(ei)
mais U^3(ei)=li^2*U(ei)
donc il y a des valeurs propres de u et de v qui vont apparaitre un peu partous dans ton calcule, et je suis pas sur qu'il puisse aboutir si on les rajoute.
oui a priori on est en dimension finit. c'est un exos de prépas, on ne fait de la réduction que en dimension finit (enfin... au mines en tous cas :p )
oui j'ai oublié de le rajouter
n est bien en dimension finie.Je suis en PSI et on fait la diagonalisation qu'en dimension finie.
Bonjour à tous.
> hatimy
u(ei) = u^3(ei) = v^3(ei) = sum(aj*v^3(e'j),j=1..n) =sum(aj*v(e'j),j=1..n) = v(sum(aj*e'j),j=1..n) = v(ei)
Voilà où est ta faute. u(ei) n'est pas égal à u^3(ei).
>sidy
Solution de l'exercice.
Comme l'a écrit ksilver, on commence par démontrer que v et v^3 ont mêmes sous-espaces propres. Comme v est diagonalisable, il existe une base B de E dans laquelle v est de matrice diagonale:
Alors, on a:
On déduit de cette expression que les valeurs propres de v^3 sont les
Donc, si on était sur un C-espace vectoriel, on aurait un problème, ce qu'ont très bien remarqué Cauchy et Ksilver.
Et ce qu' écrit Ksilver termine le raisonnement
apres il suffit de ce placer dans une base qui diagonalise u^3=v^3, et donc qui diagonalise u et v aussi et le probleme sera résolue.
Ma solution est très proche de celle de jeanseb, mais j'espère avoir convaincu Ksilver.
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