bonjour à tous!
Alors voilà, je suis coincée devant un exercies sur les suites. Je ne vois vraiment pas comment commencer ni ou l'on doit vraiment en venir.Voici l'énoncé
Soit Pn la proposition "9 divise 10n-1" et P' la proposition "9 divise 10n+1"
1.Soit n*. Démontrer que si Pn est vraie alors Pn+1 aussi.
2.Soit n*. Démontrer que si P'n est vraie alors P'n+1 aussi.
3.Montrer que la proposition P1 est vraie que peut-on dire pour Pn ?
4.Peut-on faire la même conclusion pour P'n ?
Déjà des la première question je ne comprends même pas comment on peut prouver que Pn est vraie et encore moins faire le rapprochement avec l'expression de Pn+1. enfin...je ne comprends absolument rien à cet exercice.
Donc si quelqu'un pourrait m'aider ce serait sympa.
Salut,
Je te démarre la 1er question et je te laisse faire le reste.
Dire que 9 divise 10n-1 <=> 10n-1 = 9k
On te dit n un naturelle non nul.
tu fais ton initialisation pour n=1 donc P1= 101-1 tu remarque divisible par 9.
Et tu commence ta récurrence: donc On suppose qu'il existe[...]tel que Pn = 9 k.
Pn = 9k => 10n -1 = 9k
=> 10(10n -1)= 9k
=> 10n+1 - 10 = 9k
=> 10n+1 -9 -1 = 9k
=> 10n+1 -1 = 9k +9
=> 10n+1 -1 = 9(k+1)
Et tu conclue =D
Ah ! J'voue que j'auais pas trouvée que 9 divise 10n-1 <=> 10n-1 = 9k
Du coup on fait pareil avec P'n+1
Init: n
*
P'1: 101+1=11
Donc p'1 est vraie
Hérédité:
On suppose(..)
alors P'n = 9k
<=> 10n +1 = 9k
<=> 10(10n +1)= 9k
<=> 10n+1 + 10 = 9k
<=> 10n+1 +9 +1 = 9k
sauf que là ça marche pas parce que on a une valeur négative :/( donc a tous les coups fallait pas faire ça...)
<=> 10n+1 +1 = 9k -9
<=> 10n+1 +1 = 9(k-1)
Et pour la question 3 en fait "demontrer que P1 est vraie" il suffit de reprendre les "initialisations" que on a fait lors des questions précédentes?
Et ce que on peut déduire de Pn et P'n je vois pas vraiment a par que P'n (selon mon résultat ) n'est pas fraie pour tout n.
^^' j'ai oublié de te présiser que k appartien à Z. Regarde ton initialisation pour P'. Tu dis P'1= 101 + 1 = 11 et tu dis vrai alors qu'on veut savoir s'il est divisible par 9. Or 11 n'est pas un multiple de 9 donc c'est faut pr P'1
Je me disais bien que c'était vraiment bizarre... mais ca veut dire que la proposition est fausse? o_O
Yep ! et que donc c'est faut pour P'. Mais ça t'empêche pas de démontrer l'hérédité. Enfin une propriété peut être Héréditaire mais jamais se produire. Donc tu trouve que si 9 divise P'n vrai alors 9 divise P'n+1 vrai aussi
mais comme tu trouve aucun rang pour l'initialisation tu peux dire que ce n'est pas vrai pour tout n.
Alors que pour Pn tu a si 9 divise Pn vrai alors 9 divise Pn+1.
Or P1 divisible par 9 donc vrai d'où Pn divisible par 9 pour tout n > ou = 0.
(ps: ne suis pas ma présentation je suis plutôt mauvais élève de ce côté là XD)
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