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Exo rapide sur les Probabilités

Posté par
sasuke57 02-03-22 à 09:49

Bonjour tout le monde.
J'ai un petit exo. De l'aide serait la bienvenue!

Énoncé:

Dans un jeu de société, à chaque fin de tour, un joueur lance un dé équilibré à vingt faces. Si le résultat est un multiple de 3, il gagne alors un bonus spécial qui l'aide pour la suite du jeu. Il ne peut gagner qu'un seul bonus par partie et ne lance plus le dé s'il a gagné le dit bonus.
1. Quelle est la probabilité p que le joueur obtienne le bonus à la fin de son premier tour ?
2. Quelle est la probabilité p que le joueur obtienne le bonus à la fin de son second tour?
3. Soit X le nombre de tours joués jusqu'à ce que le joueur obtienne le bonus au dé. Quelle est la loi suivie par X?
4. Quel est le nombre moyen de tours que devra jouer le joueur avant d'obtenir le bonus?  
5. La partie s'arrête au bout de dix tours.
a. Simplifier la somme 1+q+…+q9 où q est un réel différent de 1.
b. En déduire le calcul de P(X10)
c. Quelle est la probabilité qu'un joueur donné n'ait pas obtenu de bonus en fin de partie?

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 02-03-22 à 09:56

Mes réponses:

1. p=6/20, car on nous donne pas le paramètre donc je ne peux pas suivre la loi géométrique

2. Je suis bloqué car on n'a pas le paramètre/ probabilité pour la deuxième fois. Et donc la première est également fausse.

Posté par
pgeodre : Exo rapide sur les Probabilités 02-03-22 à 11:16

Tu pourrais faire un arbre pour visualiser la situation.
Au premier tour, tout le monde joue.
Chaque joueur à 6/20 de chance de gagner et donc..14/20 de chance de perdre.
Pour jouer au tour suivant, il faut avoir perdu le tour précédent et ainsi de suite.

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 02-03-22 à 17:16

Ca serait difficile de faire un arbre mais je vois ou vous voulez en venir.
Pour la première partie on a dit que la probabilité qu'il obtienne le bonus est de 6/20.
Mais est-ce que cela correspond au paramètre?

Moi je pense que je dois répondre à cette deuxième question en applicant la formule suivante:

P(X=k)= p (1-p)k-1

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 02-03-22 à 17:17

Je viens de me rendre compte que p correspond au succès, et donc à 6/20

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 02-03-22 à 17:21

Ainsi,
Pour la question 2:
P(X=2)= \frac{6}{20}(1-\frac{6}{20})^{2-1}
=
21/100

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 02-03-22 à 17:25

Finalement, je suis allé trop vite car c'est à partir de la 3 que l'on demande d'utiliser cette formule.
Donc comme vous l'aviez dit, il faut d'abord perdre, donc p=14/20
puis gagner donc 6/20.
Mais comment le formuler pour obtenir une seule formule?

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 02-03-22 à 17:28

Est ce bon:
14/20 x 6/20 = 21/100
?

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 03-03-22 à 12:16

Est ce bon?

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 03-03-22 à 13:10

salut

en l'absence des précédents intervenants ...

sasuke57 @ 02-03-2022 à 09:56

1. p=6/20, car on nous donne pas le paramètre donc je ne peux pas suivre la loi géométrique  peu clair

2. Je suis bloqué car on n'a pas le paramètre/ probabilité pour la deuxième fois. Et donc la première est également fausse.
et si tu réfléchissais au lieu de vouloir coller à des formules ...

il y a six multiples de 3 entre 1 et 20 donc la probabilité de choisir un multiple de 3 est 3/10

premier tour : p = 3/10

vu l'énoncé : tant qu'on n'a pas le bonus on peut rejouer

avoir le bonus au deuxième c'est ne pas l'avoir au premier tour et l'avoir au deuxième tour donc p(1 - p)

3/ comme pgeod l'a dit : représenter la situation par un arbre et déterminer la probabilité de l'événement "avoir le bonus au k-ième tour" pour k variant de 1 à 10 (voir à 17h16)

les autres questions viennent naturellement ...

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 04-03-22 à 21:50

Pour la 2, j'obtiens 21/100

Pour la 3: la loi suivie est la loi géométrique.

Pour la 4, je ne comprend pas

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 04-03-22 à 22:13

tu calcules simplement l'espérance de ta variable aléatoire ...

3/ pas tout à fait : c'est une loi géométrique tronquée ...

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 04-03-22 à 22:16

Pour la 5.a. je suppose que c'est:
1+q+...+q^9= p(1-p)^q-1

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 04-03-22 à 22:17

Tronquée? ca veut dire quoi?

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 04-03-22 à 22:18

Ca veut dire que pour la 4:

E(X)= 1/p = 1/(3/10) = 10/3

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 04-03-22 à 22:23

sasuke57 @ 04-03-2022 à 22:17

Tronquée? ca veut dire quoi?
voir sur internet ...

mais tu as raison ... en fait il n'y a que 10 tours mais c'est à la question 5/ !!

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 04-03-22 à 22:32

Vous parlez de cette réponse?

Citation :
Pour la 5.a. je suppose que c'est:
1+q+...+q^9= p(1-p)^q-1
?

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 04-03-22 à 22:32

Oui j'ai vu sa veut dire coupé

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 04-03-22 à 22:49

Si c'est bien ca,
Je continue:
P(X<=10) = 1 - P(X=9) = 1 - 3/10 (1-3/10)^9-1
= 1 - 0,017
= 0,98

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 08:52

non je parlais de l'espérance ...

par contre je ne comprends ton calcul de 22h16 ...

tu devrais revoir la somme des termes d'une suite géométrique ...

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 12:33

Pour la 5.a.
1+q+...+q9 =
\frac{1-q^{9+1}}{1-q}

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 13:12

ouais  et donc  = ... ?

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 15:21

q= 3/10
Donc:

\frac{1-\frac{3}{10}^{9+1}}{1-\frac{3}{10}}
=

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 15:22

1,43

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 17:08

ce 9 + 1 pourrait peut-être être réduit, non ?

sinon ne pas oublier les parenthèses autour de la fraction ...

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 17:21

Oui:
\frac{1- (\frac{3}{10})^{10}}{1-(\frac{3}{10})}
= 1,43

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 18:22

Est-ce bon, j'ai arrondi

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 19:31

A partir de ca je dois déduire P(X<=10)
mais je trouve 1,43 et c'est supérieur à 1

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 19:31

Je trouve ca bizarre

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 20:24

reprends proprement ton calcul avec

sasuke57 @ 02-03-2022 à 17:16

P(X = k) =  p (1 - p)k-1

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 20:32

P(X<=10) =

\frac{3}{10}(1- \frac{3}{10})^{1,43} =0,18

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 21:01

Est-ce bon?

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 21:04

mais il faut calculer \sum_1^{10} P(X = k) = \sum_1^{10} p(1 - p)^k

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 21:09

Ca va être super looong
Je le fais et je vous dis

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 21:15

Je trouve 0,97

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 05-03-22 à 22:24

A quoi correspond k? à 1,43?

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 08:37

Parce que si je fais l'application avec la formule que vous donnez à 21:04, je ne sais pas quoi mettre pour k.
Sinon, il faut faire un par un.

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 08:41

on veut calculer P(X \le 10) = \sum_1^{10} P(X = k) ...

P(X = k) étant la proba de gagner au k-ième tour ...

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 08:47

Ca veut dire que je vais faire P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) +.... P(X=10)

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 08:47

Je le fais et je vous envoie

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 08:48

Parce que je pensais qu'on devais déduire de la question précédente avec la suite géométrique.

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 08:49

n'oublie pas que c'est la question b/ ... et qu'on te décompose le travail avec la question a/ ...

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 08:59

\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})^{0}+\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})^{1}+\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})^{2}+\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})^{3}+\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})^{4}+\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})^{5}+\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})^{6}+\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})^{7}+\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})^{8}+\frac{3}{10}(1-\frac{3}{10})^{9}

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 09:05

C'est égal à 0,97 environ

Posté par
carpediemre : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 09:11

et n'as-tu pas vu qu'en factorisant par 3/10 on tombait sur ce qui est demandé en a/ ?

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 09:17

Bah ça donne \frac{3}{10}((1-\frac{3}{10})^{0}+(1-\frac{3}{10})^{1}+(1-\frac{3}{10})^{2}+(1-\frac{3}{10})^{3}+(1-\frac{3}{10})^{4}+(1-\frac{3}{10})^{5}+(1-\frac{3}{10})^{6}+(1-\frac{3}{10})^{7}+(1-\frac{3}{10})^{8}+(1-\frac{3}{10})^{9})

Mais je vois pas ou ca donne le résultat trouvé en a)

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 09:23

Ah vous parlez de la forme j'ai compris

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 09:23

Donc dans ce cas q= 1-3/10

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 09:28

J'ai compris:

Ainsi: (1-\frac{3}{10})^{0}+(1-\frac{3}{10})^{1}+(1-\frac{3}{10})^{2}+(1-\frac{3}{10})^{3}+(1-\frac{3}{10})^{4}+(1-\frac{3}{10})^{5}+(1-\frac{3}{10})^{6}+(1-\frac{3}{10})^{7}+(1-\frac{3}{10})^{8}+(1-\frac{3}{10})^{9}
= \frac{1-(1-\frac{3}{10})^{10}}{1-(\frac{3}{10})}
=3,24

Et si on remplace:

\frac{3}{10} (\frac{1-(1-\frac{3}{10})^{10}}{1-(\frac{3}{10})})
= 0,97

Posté par
sasuke57re : Exo rapide sur les Probabilités 06-03-22 à 09:30

C'est bien ca?

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