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exo récurrence

Posté par (invité) 06-09-04 à 20:11

Salut, je n'arrive pas à résoudre la question 2 de cet exercice: Soit Un la suite définie par U0=1 et Un+1=Un/(2+Un²) pour tout entier naturel n.
Etablir que Un+1 inférieur à Un/2 pour tout n (ça j'ai réussi!), puis que Un inférieur à U0/2 puissance n.
Justifier que la suite Un converge .
merci de votre aide

Posté par re : exo récurrence 06-09-04 à 21:06

bonjour,
pour cette 2ème question, essaie de le faire par un raisonnement par récurrence:
on montre par récurrence sur n, que $u_n\le(\frac{u_0}{2})^n$
pour n=0, c'est vérifié.
on suppose que pour n, ceci est aussi vérifié.
on a $u_{n+1}\le\frac{u_n}{2}\le(\frac{u_0}{2})^n*\frac{1}{2}$
donc
$u_{n+1}\le(\frac{u_0}{2})^{n+1}$
on a donc: pour tout n,
$u_n\le(\frac{u_0}{2})^n$

on peut montrer que $u_n$ est positif et
$lim_{n\to+\infty}(\frac{u_0}{2})^n=0$
d'où $(u_n)$ converge vers 0.
sauf erreur de ma part.

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