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bonjour

plus simple
hypothèse : u_k < u_k-1

à démontrer :  u_k+1 < u_k

pars de l'inégalité de l'hypothèse,
et par équivalence d'inégalités successives,
"construis" u_k+1 sur le membre de gauche

Est ce que l'on peut partir de l'hypothèse uk+1 - uk   < 0  ?
Et ainsi avoir uk+2 -uk+1  <0  pour la démonstration ?

absolument

mais tu vas compliquer...

Mais si je commence avec uk < uk-1 , je vais avoir un problème d'initialisation puisque n0=1 car n0=0 est impossible (non ??) Je fais comment pour calculer u-1 ?

Merci en tout cas pour votre aide

perso, j'ai fait :

hypothèse : u_k+1 < u_k

à démontrer :  u_k+2 < u_k+1


mais comme tu étais parti avec n-1, j'ai conservé ta notation.

et à ce moment-là, pour l'initialisation, tu prends k=1 :
montre que u1 < u0

C'est ce qu'on avait fait en cours, d'où la notation... J'étais un peu embrouillé avec ce que j'avais fait précedemment.

Du coup :
uk+1 < uk
uk+1 au carré < uk au carré
(uk+1  - uk )(uk+1  + uk ) <0

uk(uk+2) <0   C'est ça ? Je bloque.

mais d'où tu sors ce carré ?

pour les démos par récurrence, il est primordial de savoir où tu vas.
où te mènerait ce carré, à ton avis ?

---

définition :  

pour calculer u_n+1 :
on prend u_n
on lui rajoute 2
et on prend la racine carrée du résultat

----

hypothèse : u_k+1 < u_k      ------ tu vas partir de là

à démontrer :  u_k+2 < u_k+1    ------ pour arriver ici

reprends

Ah oui !!
Du coup

uk+1 < uk
uk+1    +2  < uk   +2
racine de (uk+1    +2) < racine de( uk   +2)
uk+2 < uk+1

Donc P(k+1) est vrai.

Conclusion : P(0) est vrai, P(n) est héréditaire donc P(n) est vrai pour tout n appartient à N

La suite est décroissante

pense à justifier :

pourquoi le sens de l'inégalité est conservé quand tu ajoutes 2 aux 2 membres ?
pourquoi le sens de l'inégalité est conservé quand tu prends les racines carrées ?

sinon, c'est ok

Ajouter 2 ne change pas le sens de variation.
La fonction raciné carré est croissante sur 0 +infini

Merci

oui
d'ailleurs, ajouter -5 (négatif) ne changerait pas  plus non le sens de l'inégalité.

ps :
en revanche, si on multipliait par un nombre négatif, le sens changerait.

bonne continuation