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exo suite
Posté par so (invité)
soit la suite (un) definie sur N* par Un=1/(n(n+1))
calculer la limite de Un
determiner deux nombres réels a et b tels que Un=(a/n)+(b/(n+1))
en deduire une expression simple de Sn=U1+U2+...+UN
calcuer la limite de Sn
lim(n->oo) Un = 0
(a/n)+(b/(n+1)) = [a(n+1)+bn]/(n(n+1)
(a/n)+(b/(n+1)) = [(a+b)n + a]/(n(n+1)
qu'on identifie à : 1/(n(n+1))
->
a+b = 0
a = 1
b = -1
On a donc: Un = (1/n) - (1/(n+1))
-----
U1 = (1/1) - (1/2)
U2 = (1/2) - (1/3)
U3 = (1/3) - (1/4)
...
Un = (1/n) - (1/(n+1))
En faisant le somme des lignes précédentes, tous les termes se simplifient
sauf le premier et le dernier ->
Sn = (1/1) - (1/(n+1))
Sn = 1 - (1/(n+1))
Sn = (n+1-1)/(n+1)
Sn = n/(n+1)
lim(n->oo) Sn = 1
-----
Sauf distraction. 
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