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exo suite adjacente

Posté par rosa (invité) 03-02-06 à 16:04

Bonjour j'ai un peu de mal à faire cet exo pourriez vous m'aidez SVP , merci d'avance pour toute réponse !
Voici l'noncé

Soit les 2 suites U et V définies par la donnée de U(0) et V(0)  ( U(0)<V0) et les relations de récurrences

U(n+1) = (2Un + Vn) /(3)

V(n+1)= (Un + 2Vn ) / (3)

1) Démontrer que la suite V-U est une suite géométrique. Donner la limite de cette suite.Donner la limite de cette suite. (j'ai trouvé que cètait une suite géo de raison -1/3 et la limite égale à 0 .)


2.Prouver que la suite u est croissante et que la suite v est décroissante.

3.Montrer que les 2 suites sont adjacentes.

4. Montrer que la suite u+v est une suite constante

5. En déduire la valeur de la limite commune des suites u et v.

voilà ++

Posté par
Cauchyre : exo suite adjacente 03-02-06 à 16:13

Salut ,la suite n'est elle pas de raison 1/3 plutot?

Si c'est le cas pour prouver que u est croissante ecrit U(n+1)-U(n) tu devrais voir apparaitre la reponse fais pareil pour V(n) ensuite.

Posté par
veledasuite adjacente 03-02-06 à 17:38

bonsoir,ça dépend si tu parles de u-v ou de v-u

Posté par
Cauchyre : exo suite adjacente 03-02-06 à 18:24

Bonsoir, Je parlais de v-u.

Posté par
veledare exo suite 03-02-06 à 19:03

bonsoir,de toutesfaçons tu as raison que ce soit u-v ou v- u c'est la même chose c'est bien 1/3 la raison  je commence à fatiguer

Posté par
veledasuite adjacente 03-02-06 à 22:05

bonsoir as-tu suivi le conseil de cauchy ?  Un+1 - Un=(Vn-Un)/3 on a montré queV-U est une suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme V0 - U0>0
donc Un+1-Un>0 et la suite U est croissante
même technique pour montrer que V est décroissante
           ..0......U0.........Un.......Vn.......V0......>
on a   0< U0< Un< Vn< V0
regarde la définition de deux suites adjacentes et tu verras que tu dois encore utiliser le fait que lim(Vn-Un)=0 en +oo
Tu formes Un +Vn =.......U0+V0

Posté par epson (invité)re 11-03-06 à 14:07

Bonjour, j'ai egalement cet exercice mais je ne vois pas comment prouver qu'elle est geo..pouvez vous m'aider . Merci

Posté par anonyme (invité)re : exo suite adjacente 08-04-06 à 18:18

et la question 5 quelqu'un sait la faire???
merci d'avance.
ps:pour dire qu'elle est géométrique il faut faire Vn+1-Un+1 é tu vas trouver la raison*(Vn-Un).

Posté par
Dcamdre : exo suite adjacente 08-04-06 à 20:48

Pour montrer que un + vn est une constante, il faut montrer que un+1 + vn+1= un + vn.

Pour la 5) comme un et vn sont adjacentes, elles sont convergentes et ont même limite. Donc........................................

Posté par anonyme (invité)re : exo suite adjacente 09-04-06 à 11:23

oui d'accord mais comment peut-on trouver la valeur de la limite?je ne vois vraiment pas!

Posté par
Dcamdre : exo suite adjacente 09-04-06 à 17:36

Bon, ok, je le fais...

Posons 3$w_n = v_n - u_n

Alors 3$w_{n+1} = v_{n+1} - u_{n+1}

3$w_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n - 2u_n - v_n}{3}

On en arrive a : 3$\frac{v_n - u_n}{3}donc à 3$\frac{1}{3}(v_n - u_n) = \frac{1}{3}w_n

Donc w_n suite géométrique de raison \frac{1}{3}

3$w_n = w_0 \times (\frac{1}{3})^n

Pour montrer qu'elles sont adjacentes, montrons que l'une est croissante, l'autre décroissante et que la limite de (u_n - v_n) vaut 0.

3$u_{n+1} - u_n = 3$\frac{2}{3}u_n + \frac{1}{3}v_n - u_n
              3$= \frac{1}{3}w_n > 0
Donc (u_n) croissante.

3$v_{n+1} - v_n = 3$\frac{1}{3}u_n + \frac{2}{3}v_n - v_n
3$v_{n+1} - v_n = - \frac{1}{3}w_n < 0

Donc 3$(v_n) décroissante.

comme 3$-1 < \frac{1}{3} < 1

3$\lim_{n\to +\infty} w_n = 0

Donc adjacentes.

Montrons que u_n + v_n est une constante.

3$u_{n+1} + v_{n+1} = ... = \frac{3u_n+3v_n}{3} = u_n + v_n

Donc u_n + v_n = u_0 + v_0

3$\lim_{n\to +\infty} u_n + v_n = u_0 + v_0

comme u_n et v_n sont adjacentes, elles sont convergentes et ont même limite.

Donc 3$\lim_{n\to +\infty} u_n + v_n = \lim_{n\to +\infty} 2u_n = u_0 + v_0 donc 3$\lim_{n\to +\infty} u_n = \lim_{n\to +\infty} v_n = \frac{u_0 + v0}{2}

Comme les valeurs de u_0 et v_0 ne sont pas données je ne pense pas qu'on puisse aller plus loin...

@+++

Posté par
Dcamdre : exo suite adjacente 09-04-06 à 17:47

C'est donc le milieu de u0 et v0

Posté par anonyme (invité)re : exo suite adjacente 09-04-06 à 18:40

merci beaucoup beaucoup!les valeurs je les ai donc ça va aller!merci encore.
@+


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