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Exo suites de matrices

Posté par
lollipopfansub 25-03-13 à 18:37

Bonjour tout le monde,

j'ai un exercice à faire en spé maths mais je ne comprends vraiment pas comment le faire. Voici l'énoncé de l'exercice en question :

Soit la suite de matrices colonnes (Xn) telle que :
          ( 1/2 0 )      (1)          (1)
   Xn+1 =( 0  1/3) Xn + (2)  et Xo = (1)
                                                                                   (2)
1) Montrer que la suite constante (Cn) définie pour tout entier naturel n par Cn = (3) vérifie cette relation.

2) Déterminer Xn en fonction de n

3) La suite (Xn) est-elle convergente ?


Merci d'avance pur votre aide
Cordialement,

Posté par
cailloux Correcteurre : Exo suites de matrices 25-03-13 à 19:52

Bonjour,

1)Avec C_n=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}

on a bien C_{n+1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=C_n

C' est un début...

Posté par
cailloux Correcteurre : Exo suites de matrices 25-03-13 à 19:55

Un oubli:

C_{n+1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=C_n

Posté par
lollipopfansubre : Exo suites de matrices 25-03-13 à 22:49

Merci beaucoup, c'est un début mais ça m'aide bien

Posté par
cailloux Correcteurre : Exo suites de matrices 25-03-13 à 23:58

2)Ici, on peut procéder de différentes manières:

a) ou bien prouver que la suite (y_n) définie par y_n=x_n-c_n est telle que:

y_{n+1}=A\,y_n où A=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&0\\0&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}

puis en déduire que y_n=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2^n}\\-\dfrac{2}{3^n}\end{pmatrix}

enfin que x_n=\begin{pmatrix}2-\dfrac{1}{2^n}\\3-\dfrac{2}{3^n}\end{pmatrix}

b) ou bien en calculant les premiers termes x_1,x_2,x_3, faire la conjecture:

x_n=\begin{pmatrix}2-\dfrac{1}{2^n}\\3-\dfrac{2}{3^n}\end{pmatrix}

et la démontrer par récurrence.

3) Mais oui: (x_n) converge vers la matrice \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}

Posté par
lollipopfansubre : Exo suites de matrices 26-03-13 à 12:53

Ah merci, c'est vraiment hyper sympa d'avoir pris le temps de répondre

Merci beaucoup


Merci également pour la méthode, je ne voyais pas par où partir pour résoudre le problème, c'est beaucoup plus clair maintenant

Posté par
cailloux Correcteurre : Exo suites de matrices 26-03-13 à 16:16

De rien lollipopfansub


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