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exo sur les congruences

Posté par miss_inconnue82 (invité) 06-11-04 à 17:22

salut, pouvez vous m'aider pour cet exo je ne sait pas comment faire

on me demande de déterminer le nombre de diviseurs de 180 et d'en dresser la liste.
quel est le nombre de diviseurs de 79625?
l'entier 8x10n admet 154 diviseurs déterminer n
quel est le plus petit entier possédant 36 diviseurs?
démontrer q1 entier naturel est un carré d'entier, si et seulement si, il admet un nb impair de diviseurs.

je ne sais pas comment je peux faire,alors votre aide est la bienvenue
Merci d'avance...

Posté par miss_inconnue82 (invité)re : exo sur les congruences 06-11-04 à 18:49

SVP aidez moi, je suis bloquée

Posté par
lanageuse56re : exo sur les congruences 06-11-04 à 19:15

180=90X2
90=45X2
45=9X5
9=3X3
il faut divisé le nombre en facteur premier

Posté par miss_inconnue82 (invité)re : exo sur les congruences 06-11-04 à 21:53

Merci pour ton aide
en fait le problème se pose surtout à partir de la 4ème question
vous pouvez m'aider?je bloque
merci d'avance

Posté par
Belge-FDLEre : exo sur les congruences 06-11-04 à 21:54

Salut miss-inconnue82 ,

Je vais essayer de t'aider de mon mieux .
Pour cela, je ne vais pas te donner les réponses des questions les plus simples, mais plutôt te donner une méthode pour arriver à les trouver .


Comment déterminer le nombre de diviseurs d'un nombre?
Pour cela, il faut utiliser la décomposition en facteur premier.
Pour te le montrer, je vais prendre un exemple assez simple : on va déterminer le nombre de diviseur de 12.
En décomposant en facteurs premiers, on a :

2$\rm~12~=~2^2\times3

Or, tu as sans doute vu que pour trouver tous les diviseurs d'un nombre, il fallait "jouer sur les exposants" des facteurs de sa décomposition en facteur premier. Si tu ne l'as pas vu, ce n'est pas grave .
Il faut procéder ainsi :

2$\rm~2^0\{{3^0~\to~1\\3^1~\to~3}
2$\rm~2^1\{{3^0~\to~2\\3^1~\to~6}
2$\rm~2^2\{{3^0~\to~4\\3^1~\to~12}

Cet arbre (qui rappelle assez ceux construits en probabilité) nous permet de déterminer tous les diviseurs de 12 qui sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
En même temps, il permet de les dénombrer. En effet, on remarque qu'il se divise une première fois en 3 branches (20, 21 et 22), puis, que chacune de ces 3 branches se divise encore en 2 branches (30 et 31). On en déduit facilement que 12 a 3*2=6 diviseurs.

Or, il faut remarquer que les exposants respectifs de 2 et 3 dans la décomposition en facteurs premiers de 12 sont 2 et 1.
Or, il est facil de remarquer que :  3=2+1 et que 2=1+1

Ce n'est pas une coincidence, et tu peux essayer avec d'autres exemples pour t'en rendre compte .

Un nombre N dont la décompositions en facteurs premiers est  2$\rm~N~=~\alpha^a\times\beta^b\times\lambda^c aura un nombre de diviseurs égal à :

2$\rm~(a+1)(b+1)(c+1)


Ainsi, en prenant par exemple 100, on a :

2$\rm~100~=~2^2\times5^2

On en déduit facilement que 100 a un total de 3*3=9 diviseurs.
Ces 9 diviseurs sont d'ailleurs : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

Voilà .
Ceci devrait déjà t'aider à faire le début de ton exercice.
Si tu as des questions, n'hésite pas .

À +

Posté par
Belge-FDLEre : exo sur les congruences 06-11-04 à 22:12

Re-Salut ,

Pour la démonstration demandée, je l'avais déjà faite pour aider quelqu'un d'autre, je te la copie donc ici .

Alors, je me lance pour essayer de démontrer qu'un nombre a un nombre impair de diviseurs SSI il s'agit d'un carré parfait :

Alors, ici on remarque que l'on a un "si et seulement si", il faut donc démontrer que si un nombre est un carré parfait, alors il a un nombre impair de diviseurs, ET que si un nombre a un nombre impair de diviseur, qu'il s'agit d'un carré parfait (dans les deux sens quoi ).


Avant de commencer la démo, il faut rappeller que le nombre de diviseurs d'un nombre dont la décomposition en facteurs premiers est de la forme 2$\rm~m~=~\alpha^e\times~\beta^f est égal à :
2$\rm~(e+1)(f+1)
Pour ceux qui ne comprennent pas pourquoi, certains se rappelleront de la construction d'arbres (comme en probas) pour dénombrer les diviseurs, les autres n'ont qu'à essayer plusieurs exemples pour s'en convaincre .
Le "+1" vient du fait qu'il ne faut pas oublier la puissance 0.

Exemple : 2$\rm~12~=~2^2\times~3^1. Ses diviseurs sont donc les suivants :
2$\rm~2^0\times~3^0~=~1
2$\rm~2^0\times~3^1~=~3

2$\rm~2^1\times~3^0~=~2
2$\rm~2^1\times~3^1~=~6

2$\rm~2^2\times~3^0~=~4
2$\rm~2^2\times~3^1~=~12
On voit bien ici que l'on a (2+1)(1+1)=3*2=6 diviseurs pour 12.

Cette propriété est importante car je vais m'en servir pour la démo.



*Un carré parfait a un nombre impair de diviseurs :
Considérons un nombre entier 2$\rm~n, dont la décomposition en facteurs premiers soit la suivante :
2$\rm~n~=~\alpha^a~\times~\beta^b~\times~\gamma^c~~~~~~~~(a,b,c\in\mathbb{N})

On a donc, en élevant 2$\rm~n au carré :
2$\rm~n^2~=~(\alpha^a~\times~\beta^b~\times~\gamma^c)^2
2$\rm~n^2~=~\alpha^{2a}~\times~\beta^{2b}~\times~\gamma^{2c}

En utilisant la propriété vue plus haut, on en déduit que 2$\rm~n^2 a :
2$\rm~(2a+1)(2b+1)(2c+1)~diviseurs

Or, 2a+1, 2b+1 et 2c+1 sont impairs, et on sait qu'un produit de nombre impairs donne un nombre impairs

Conclu 1: Un carré parfait a un nombre impair de diviseurs.



*Un nombre qui a un nombre impair de diviseurs est un carré parfait :
Considérons un nombre entier 2$\rm~m ayant un nombre impair de diviseurs, et dont la décomposition en facteurs premiers soit la suivante :
2$\rm~m~=~\delta^e~\times~\varphi^f~\times~\lambda^g~~~~~~~~(e,f,g\in\mathbb{N})

D'après la propriété vue plus haut, le nombre de diviseurs de 2$\rm~m est égal à :
2$\rm~(e+1)(f+1)(g+1)

Par hypothèse, ce produit est impair.
Or on sait qu'un produit est impair si et seulement si, tous les facteurs sont impairs.
Ainsi, e+1, f+1 et g+1 sont impairs, ce qui implique que e, f et g sont pairs et qu'il existent trois entiers naturels k, k' et k'' tels que :
2$\rm~e~=~2k
2$\rm~f~=~2k'
2$\rm~g~=~2k''

On obtient donc :
2$\rm~m~=~\delta^{2k}~\times~\varphi^{2k'}~\times~\lambda^{2k''}~~~~~~~~(k,k',k''\in\mathbb{N})

D'où l'on déduit que :
2$\rm~\sqrt{m}~=~\sqrt{\delta^{2k}~\times~\varphi^{2k'}~\times~\lambda^{2k''}}~~~~~~~~(k,k',k''\in\mathbb{N})
2$\rm~\sqrt{m}~=~\delta^{k}~\times~\varphi^{k'}~\times~\lambda^{k''}~~~~~~~~(k,k',k''\in\mathbb{N})

Ce qui veut dire que 2$\rm~\sqrt{m}~\in~~\mathbb{N}, ce qui implique que 2$\rm~m est un carré parfait.

Conclu 2: Un nombre qui a un nombre impair de diviseurs est un carré parfait.


CONCLUSION : Un nombre a un nombre impair de diviseur si et seulement si il s'agit d'un carré parfait.
3$C.Q.F.D

Remarque : Pour faciliter la compréhension, j'ai pris des nombres qui avaient une décomposition en facteurs premiers assez restreinte, mais cette démo est valable quelle que soit la longueur de la décomposition en facteur premier d'un nombre .


Voili, voilou .

Si tu as des questions, n'hésite pas .

À +

Posté par miss_inconnue82 (invité)re : exo sur les congruences 06-11-04 à 23:55

merci bcp pour ton aide je vais essayer de le faire, si g des pb je te reviens
A+

Posté par miss_inconnue82 (invité)re : exo sur les congruences 07-11-04 à 08:57

merci pour ton aide, g compris maintenant mais tu n'as pas une méthode rapide pour trouver le plus petit entier ayant 36 diviseurs? je ne peux pas utiliser l'arbre

Posté par miss_inconnue82 (invité)re : exo sur les congruences 07-11-04 à 12:19

SVP aidez moi je suis bloqué
merci d'avance

Posté par
Belge-FDLEre : exo sur les congruences 07-11-04 à 14:51

Re-Salut ,

Pour ton problème à trouver le plus petit entier à avoir 36 diviseurs, voilà comment je procéderais :

On sait que 36=(35+1). Ainsi, un nombre a avoir 36 diviseurs est : 2$\rm~2^{35}=34359738368.
Il est évident que ce nombre est bien trop grand .

On sait également que 36=6*6=(5+1)(5+1). Le plus petit nombre premier après 2 est 3. Or :
2$\rm~3^5~<~2^{30}
d'où  2$\rm~2^5\times3^5~<~2^{35}
Ainsi, un plus petit nombre admenttant 36 diviseurs est :  2$\rm~2^5\times3^5=7776.

On sait 6=3*2=(2+1)(1+1). Le plus petit nombre premier après 2 et 3, est 5. Or :
2$\rm~5~<~3^3
d'où  2$\rm~2^5\times3^2\times5~<~2^5\times3^5
Ainsi, un plus petit nombre admenttant 36 diviseurs est :  2$\rm~2^5\times3^2\times5=1440.

De plus, le plus petit nombre premier après 2, 3 et 5, est 7 et on se rend compte que l'on a :
2$\rm~7~<~2^3
d'où  2$\rm~2^2\times3^2\times5\times7~<~2^5\times3^2\times5.
Ainsi, un plus petit nombre admenttant 36 diviseurs est :  2$\rm~2^2\times3^2\times5\times7=1440.

On remarque de plus que (2+1)(2+1)(1+1)(1+1)=3*3*2*2 est la décomposition en facteurs premiers de 36.
On ne peut donc pas aller plus loin.

CONCLUSION : 1440 est le plus petit nombre admettant 36 diviseurs.

Remarque : On a souvent tendance a parler de diviseurs pour désigner uniquement les diviseurs positifs. Il serait plus rigoureux de le préciser, car par exemple, ici 1440 admet 36 diviseurs positifs, mais également 36 diviseurs négatifs par "symétrie".
Si l'on était plus rigoureux, on se rendrait compte que le plus petit nombre qui admet 36 diviseurs est alors : -180 (et non 180 qui est supérieur à -180).
Par ailleurs, on se rend bien compte que ses diviseurs sont : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -9, -10, -12, -15, -18, -20, -30, -36, -45, -60, -90, -180}

Voilà .
Si tu as des questions, n'hésite pas .

À +

Posté par miss_inconnue82 (invité)re : exo sur les congruences 07-11-04 à 16:42

cette question g reussimais c'est celle d'avant où j'arrive pas
ce serait sympa que tu accepte de m'aider encore une fois! si tu veux bien bien sûr
je trouve que j'abuse quand même
en tout cas je te remercie de ton aide, surtout que tu explique bien
A+

Posté par
Belge-FDLEre : exo sur les congruences 07-11-04 à 22:31

Re-Salut ,

Dsl pour le temps mis à répondre, mais je pensais que tu n'aurais plus de problème .
Si j'ai bien compris, la questions où tu bloque est la suivante :

2$\rm~8\times10^n admet 154 diviseurs. Déterminer n.

Comme je te l'ai dis avant, il faut toujours décomposer un nombre en facteurs premiers pour arriver à trouver son nombre de diviseurs (positifs). Or ici, on a :

2$\rm~8\times10^n~=~2^3\times(2\times5)^n
d'où  2$\rm~8\times10^n~=~2^3\times2^n\times5^n
càd  2$\rm~8\times10^n~=~2^{3+n}\times5^n

Le nombre de diviseurs (positifs) de ce nombre est donc égal à : (3+n+1)(n+1), càd (n+4)(n+1).
Ainsi, il nous suffit de résoudre l'équation suivante pour déterminer n :

2$\rm~\array{rcl$(n+4)(n+1)&=&154\\n^2+5n+4&=&154\\n^2+5-150&=&0}

Ici, tu peux utiliser la méthode du discrimant, mais personnellement, je préfère la méthode de la forme canonique, raison pour laquelle je la continue .

2$\rm~\array{rcl$n^2+5n-150&=&0\\(n+\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2-150&=&0\\(n+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}-\frac{600}{4}&=&0\\(n+\frac{5}{2})^2-\frac{625}{4}&=&0\\(n+\frac{5}{2})^2-(\frac{25}{2})^2&=&0\\(n+\frac{5}{2}-\frac{25}{2})(n+\frac{5}{2}+\frac{25}{2})&=&0\\(n-\frac{20}{2})(n+\frac{30}{2})&=&0\\(n-10)(n+15)&=&0}

SSI  2$\rm~n=10
ou  2$\rm~n=-15 (IMPOSSIBLE car n est un entier naturel)

CONCLUSION : n=10.

Voilà .
Si tu as des questions, n'hésite pas.

À +


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