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exo surjectivité

Posté par cecilie (invité) 18-03-07 à 19:34

Il s'agit de montrer que IdE - g o f surjectif <=> IdE - f o g surjectif
Pourriez-vous m'aider ? On sait juste que f et g sont linéaires de E dans E (on ne sait pas si elles sont surj ! sinon ce serait trop facile...)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exo surjectivité. 18-03-07 à 20:07

Bonjour cecilie ;
L'espace E est-il supposé de dimension finie ?

Posté par cecilie (invité)pas précisé 18-03-07 à 20:22

ça n'est pas précisé, je suppose qu'on ne doit pas en avoir besoin (l'exercice est dans le chapitre espaces vectoriels, nous n'avons pas encore fait le chapitre d'espaces vectoriels de dimension finie!)...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exo surjectivité. 20-03-07 à 16:51

OK !
Vu le rôle symétrique que jouent les deux endomorphismes f et g il suffira de prouver l'implication : 3$\fbox{Id_{E}-gof\hspace{5}surjectif\hspace{5}\Longrightarrow\hspace{5}Id_{E}-fog\hspace{5}surjectif}

Pour cela notons 2$\fbox{u=Id_{E}-gof\\v=Id_{E}-fog} et supposons l'endomorphisme u surjectif,
ainsi si y est un vecteur quelconque de E on a l'existence d'un vecteur z de E tel que 2$\blue\fbox{g(y)=u(z)=z-g(f(z))}
le vecteur z étant clairement dans Img soit x\in E tel que \fbox{z=g(x)}
l'identité bleue s'écrit alors
2$\fbox{g(y)=g(x)-g(f(g(x)))=g(x-f(g(x)))=g(v(x))}
ce qui veut dire que 2$\fbox{y-v(x)\in Kerg} ou encore 2$\fbox{y=v(x)+k\\k\in Kerg}
et en remarquant que 2$\fbox{(\forall t\in Kerg)\hspace{5}v(t)=t} on voit que 3$\red\fbox{y=v(x+k)}.

Remarque :
En dimension finie ce résultat peut s'énoncer sous la forme matricielle suivante :
3$\fbox{\forall A,B\in M_n(\mathbb{K})\\I_n-AB\hspace{5}inversible\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}I_n-BA\hspace{5}inversible} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
Camélia Correcteurre : exo surjectivité 21-03-07 à 15:49

Très joli elhor!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exo surjectivité. 21-03-07 à 17:19

Merci Camélia


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