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exode rural suites
Bonjour, voici un exercice que je dois faire, et ou je rencontre quelques difficultés...
On imagine un pays dont la population reste constante et égale à 10millions d'hab.
On peut considérer que chaque année 10% de la population rurale émigre vers les zones urbaines alors que 5% de la population urbaine émigre vers les zones rurales.
Au début de l'étude (année 0), la répartition est : 6millions de ruraux et 4millions de citadins.
L'objectif de cette activité est de prévoir l'évolution de cette répartition et si on peut prévoir une désertification totale des zones rurales.
On note Rn zones rurales en millions d'hab et Un zones urbaines à l'année n."
1) Prouver que pour tout entier naturel n, Rn+1 = 0,9Rn+0,05Un et Un+1 = 0,95Un+0,1Rn
2)a- quelle hypothèse vous permet d'affirmer que Un=10-Rn
b- déduisez en que pour tout entier naturel n, Rn+1=0,85Rn+0,5
3)Démontrer que (Un) est décroissante.
Quelle conjecture pouvez-vous alors émettre concernant :
a) Le comportement de suites (rn ) et ( un )
b) La desertification éventuelle des zones rurales?
Tout d'abord voici ce que j'ai fais pour la 1ere question :
1) D'après l'énoncé on sait que 10% de la population rurale a émigré en zone urbaine
soit : Rn - 10/100 et Un+ 10/100
On sait aussi que 5% de la population urbaine est parti en zone rurale
soit : Rn +5/100 et Un - 5/100
On a alors :
Rn+1 = Rn+1 - 10/100 + 5/100
Un+1 = Un+1 + 10/100 - 5/100
Merci de bien vouloir m'aider ! 
Bonjour, non, 10% de la population rurale c'est pas 10/100 mais 10Rn/100 donc 0.1Rn
donc tes relations de récurrence , c'est plutôt :
Rn+1 = 0.9Rn + 0.05Un
Un+1 = 0.95Un + 0.1Rn
le total reste constant donc si tu fais Rn+1+Un+1 tu peux montrer que ça vaut Rn+Un donc aussi R0+U0 = 6 + 4 = 10. D'où la relation Un=10-Rn demandée à la 2a)
Ah oui, d'accord merci !
Donc je peux dire :
D'après l'énoncé on sait que 10% de la population rurale a émigré en zone urbaine
soit pour Rn on a : 10Rn/100 et pour Un : Un+ 10Rn/100
On sait aussi que 5% de la population urbaine est parti en zone rurale
soit : Rn : Rn +5/100 et Un : 5Un/100
On a alors :
Rn+1 = 1 - 10Rn/100 + 5Un/100 soit : 1- 0,1Rn + 0,05 Un donc 0,9Rn + 0,05 Un
Un+1 = 1 - 5Un/100 + 10Rn/100 soit : (1- 0,05) + ( 0,1 Rn) donc : 0,95 Un + 0,1Rn
Est-ce bon pour la rédaction ?
Merci !
Mouais, il y a des fautes, par exemple le 1 dans Rn+1 = 1 - 10Rn/100 + 5Un/100, ça serait plutôt Rn+1 = Rn - 10Rn/100 + 5Un/100
D'accord merci, du coup je fais pareil pour Un !
Pour la deuxieme question j'ai fais :
2 a)
L'hypothèse qui nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, un =10 - Rn est :
On a : 10 - Rn = Un
Si on passe Rn de l'autre côté : 10 = Un + Rn
Le nombre total ne change pas.
2 b)
Pour tout entier naturel n, rn+1 = 0,85 rn + 0,5
On a : Rn+1 = 0,9 rn + 0,05 Un
= 0,9 rn + 0,05 (10- rn)
= 0,9 rn + 0,5 - 0,05 rn
soit Rn+1 = 0,85 rn + 0,5
Est-ce-que le raisonnement et les calculs sont justes ? Merci
Pour le 2a) la façon dont tu démontres que 10 - Rn = Un n'est pas bien claire. (je t'avais dit comment faire dans mon premier post)
2b) OK
Rn+Un = 0,9 rn + 0,05 Un + 0,95 Un + 0,01 rn
= rn + un
R0+U0 = 6 + 4 = 10
Je n'arrive pas a voir ou ça mène ..
Merci de m'expliquer svp !
D'accord !! Merci beaucoup !
Puis pour la derniere question :
"Démontrer que Rn est décroissante" :
Par recurence, la suite U(n) est decroissante. Pour tout entier n, soit R(n) la proposition : " Rn+1 
Un "
Initialisation : Uo = 6 U1 =
U1< U0 donc R0 est vrai.
Herédité : On suppose qu'a un certain rang n, Rn est vraie, et, sous cette hypothèse on cherche à démontrer que Rn+1 est vraie, c'est a dire "Un+2 
Un+1 "
Rn+1 =
Rn+ 2 =
On a alors Un+2 Un+1
Donc Rn vraie implique Rn+1 vraie
Rn es héréditaire
Mais le problème c'est que je ne sais pas comment calculer R1 et R2...
J'ai trouvé pour la A) Le comportement des suites R(n) et U(n) : Ses termes sont de plus en plus petits, elle stagne a environ 3.
B) Il n'y a pas de desertification car la suites stagne..
Merci pour votre aide
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