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Exos prépa HEC

Posté par Fireball (invité) 02-10-05 à 17:38

Bonjour, je suis en prépa HEC et j'ai 15 exos de maths pour demain...
Parmi eux, des exercices que je n'ai pas pu résoudre... je vous les pose en ce lieu :

14) Soit a,b,c trois rééls ; factoriser :

B=a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)
C=a3(b²-c²)+b3(c²-a²)+c3(a²-b²)

La première question était de factoriser A=a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b), j'y suis arrivé à A=(a-b)(a-c)(b-c), mais je ne vois vraiment pas comment faire pour les autres...

21)a)On considère n rééls a1, a2, ...., an. Montrer que :
a1+a2(1-a1)+a3(1-a2)(1-a1)+....+an(1-an-1)...(1-a1)+(1-an)(1-an-1)...(1-a1)=1

b) En déduire que, pour tout n, on a :
(de k=1 à n) [(k.k!)/nk]*(k parmis n)

24)Calculerles sommes suivantes :
S2=(de i=2 à n)(de j=1 à i)[(i-1)(n-j+1);
S3=(de i=1 à n)(de j=1 à i)[j(n-i+1)]

25)On suppose que i et j prennent leurs valeurs dans |[1,n]| (entiers compris entre 1 et n). Calculer :
(i,j)[max(i,j)]

Merci d'avance !

Posté par Fireball (invité)re : Exos prépa HEC 02-10-05 à 19:56

Personne pour m'aider ? JE vous assure que c'est vraiment pas de la mauvaise volonté, mais des vraies difficultés, je suis en ce moment même en train de les chercher... Donc si vous aviez au moins une petite piste...

Sinon, bonne soirée !

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Exos prépa HEC 02-10-05 à 20:20

B = a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)
B = a³b-a³c+b³c-ab³+ac³-bc³

B = b(a³-c³) +ac(c²-a²)+b³(c-a)
B = b(a³-c³) +ac(c²-a²)+b³(c-a)
B = b(a-c)(a²+c²+ac) +ac(c-a)(c+a)+b³(c-a)
B = (a-c)(a²b+bc²+abc-ac²-a²c-b³)
B = (a-c)(a²b-b³+bc²+abc-ac²-a²c)
B = (a-c)(b(a²-b²) + c²(b-a) +ac(b-a))
B = (a-c)(b(a-b)(a+b) + c²(b-a) +ac(b-a))
B = (a-c)(a-b)(b(a+b) - c² - ac)
B = (a-c)(a-b)(ab+b²-c²-ac)
B = (a-c)(a-b)(ab-ac+b²-c²)
B = (a-c)(a-b)(a(b-c)+(b-c)(b+c))
B = (a-c)(a-b)(b-c)(a+b+c)
-----
Sauf distraction.  Vérifie

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Exos prépa HEC 02-10-05 à 20:40

C = a³(b²-c²)+b³(c²-a²)+c³(a²-b²)
C = a³b²-a³c² +b³c²-a²b³+a²c³-b²c³
C = a³b²-b²c³-a³c² +b³c²-a²b³+a²c³
C = b²(a³-c³) +b³c²-a²b³+a²c³-a³c²
C = b²(a³-c³) +b³(c²-a²)+a²c²(c-a)
C = b²(a-c)(a²+c²+ac) +b³(c-a)(c+a)+a²c²(c-a)
C = (a-c).(a²b²+b²c²+ab²c -b³c - ab³-a²c²)
C = (a-c).(a²b²-a²c²+b²c²+ab²c -b³c - ab³)
C = (a-c).(a²(b²-c²) + b²c²-b³c +ab²c  - ab³)
C = (a-c).(a²(b²-c²) + b²c(c-b) +ab²(c-b))
C = (a-c).(a²(b-c)(b+c) + b²c(c-b) +ab²(c-b))
C = (a-c).(b-c)(a²b + a²c - b²c - ab²)
C = (a-c).(b-c)(a²b - ab² + a²c - b²c )
C = (a-c).(b-c)(ab(a-b) + c(a²-b²))
C = (a-c).(b-c)(ab(a-b) + c(a-b)(a+b))
C = (a-c).(b-c)(a-b)(ab+ac+bc)
----
Sauf distraction. Vérifie.  

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Exos prépa HEC 03-10-05 à 00:05

Bonsoir;
a)En posant 2$\fbox{\forall k\in\{1,..,n\}\\b_k=1-a_k} la somme à simplifier s'écrit:
2$\fbox{(1-b_1)+(1-b_2)\times b_1+(1-b_3)\times b_{1}\times b_2++(1-b_4)\times b_{1}\times b_2\times b_3+..+(1-b_n)\times b_{1}\times b_{2}\times..\times b_{n-1}+b_{1}\times b_{2}\times..\times b_{n-1}\times b_n } ou encore:
2$\fbox{(1-b_1)+(b_1-b_{2}\times b_1)+(b_{1}\times b_2-b_3\times b_{1}\times b_2)+(b_{1}\times b_2\times b_3-b_4\times b_{1}\times b_2\times b_3)+..+(b_{1}\times b_{2}\times..\times b_{n-1}-b_n\times b_{1}\times b_{2}\times..\times b_{n-1})+b_{1}\times b_{2}\times..\times b_{n-1}\times b_n } et on voit bien que c'est une somme téléscopique de valeur 1.

b)Notons 3$\fbox{S_n=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{kk!}{n^k}C_{n}^{k}} alors on a:
3$\fbox{S_n=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^k}\frac{n!}{(n-k)!}=\Bigsum_{k=1}^{n}k\times\frac{n}{n}\times\frac{n-1}{n}\times\frac{n-2}{n}\times..\times\frac{n-(k-1)}{n}=n\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\times(1-\frac{1}{n})\times(1-\frac{2}{n})\times..\times(1-\frac{k-1}{n})}.
En notant 3$\fbox{\forall k\in\{1,..,n\}\\a_k=\frac{k}{n}} on voit que:
3$\fbox{S_n=n[a_1+a_{2}(1-a_1)+a_{3}(1-a_1)(1-a_2)+..+a_n(1-a_1)(1-a_2)..(1-a_{n-1})]}
et d'aprés a) on a que:
3$\fbox{S_n=n(1-(1-a_{1})(1-a_{2})(1-a_{3})..(1-a_n))} et vu que 2$\fbox{a_n=1} on a finalement que:
5$\blue\fbox{\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{kk!}{n^k}C_{n}^{k}=n}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par Fireball (invité)Merci Beaucoup ! 12-10-05 à 19:59

Bonjour tout le monde,

Je tiens a vous remercier pour vos réponses qui m'auront été d'une grande aide, et comme chaque fin de semaine, le rituel de la tonne d'exos pour le lundi a faire pendant le week end... Apres un simple et coup d'oeil et une lecture exhaustive du cours, voici les exos qui me poseraient a priori problème :

21. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et = e(2i/n).
a) Montrer que, pour tout complexe z, (de k=1 à (n-1))(z-k=(de s=0 à (n-1))(zs).
b) En déduire que (de k=1 à (n-1))(sin(k/n)=n/(2n-1)

26. SOit n un entier naturel non nul, et soit a un réél de l'intervalle ]0,(/2)[.
Résoudre dans l'équation ((1-iz)/(1+iz))n=((1-itan(a))/(1+itan(a))

27. Soir n un entier naturel non nul, et soit a un réél.
Résoudre dans l'équation z2n-2zncos(na)+1=0

Je m'attèle dès maintenant aux dux autres exercices, et vous recontacte en cas de nouveau problème !

Bonne soirée et merci d'avance.

Posté par Fireball (invité)re : Exos prépa HEC 13-10-05 à 18:52


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