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Explication d'un exercice corrigé (suites)

Posté par
fanfan56 18-06-19 à 13:59

Bonjour,

Ceci est un exercice déjà corrigé dont je ne comprends pas comment arriver d'un point à un autre.

calcul de la somme des carrés des entiers de 1 à n:
1² +2² +3² + … + n²
Les carrés des entiers ne constituent ni une S.A. ni une S.G.
Méthode permettant le calcul.
Nous savons que:
(x+1)3= x3 + 3x² + 3x +1

Remplaçons successivement x par 1,2 …, n:
(1+1)3 = 13 + 3*1² + 3*1 + 1
(2 +1)3= 23 + 3*2² + 3*2 + 1
…
(n +1)3 = n3 + 3* n² + 3*n +1

Additionnons membres à membres ces n relations; il vient:
23 + 33 + … = (n+1) 3 = (13 + 23 + … + n3) + 3*(1² + 2² + … + n²) ) + 3*(1 + 2 + … + n) +n  cette  partie


c'est là que ça se corse:

D'où , en simplifiant les deux membres:  et cette partie
(n+1)3 = 1 +3 * ( 1² +2² + … + n²) + 3* (1 + 2 +... n) +n

somme à calculer  n*(n+1) /2

Comment on simplifie entre les parties

Nous avons donc:

merci

Mamie

Posté par
luzakre : Explication d'un exercice corrigé (suites) 18-06-19 à 14:30

Bonjour !
Tu as une erreur dans ceci

Citation :
Additionnons membres à membres ces n relations; il vient:
23 + 33 + … = (n+1) 3 = (13 + 23 + … + n3) + 3*(1² + 2² + … + n²) ) + 3*(1 + 2 + … + n) +n  cette  partie


Il fallait écrire :
2^3+3^3+\dots+n^3+(n+1)^3=(1^3+2^3+\dots+n^3)+3(1^2+2^2+\dots+n^2)+3(1+2+\dots+n)
donc, en enlevant le terme 2^3+\dots+n^3 qui figure à droite et à gauche,

(n+1)^3=(1^3)+3(1^2+2^2+\dots+n^2)+3(1+2+\dots+n)
et le dernier terme (le facteur de 3) est bien la somme des n premiers entiers et vaut \dfrac{n(n+1)}2

Posté par
fanfan56re : Explication d'un exercice corrigé (suites) 18-06-19 à 15:48

Merci luzak

Pourtant j'ai bien tout recopié comme c'était sur le cours.

Posté par
mathafou Moderateurre : Explication d'un exercice corrigé (suites) 18-06-19 à 18:08

Bonjour,
l'erreur de frappe évidente est bien un signe = tapé au lieu d'un + et uniquement ça.

Additionnons membres à membres ces n relations; il vient:
23 + 33 + … \Large \red+ (n+1) 3 = (13 + 23 + … + n3) + 3*(1² + 2² + … + n²) ) + 3*(1 + 2 + … + n) + n
(à gauche on a effectué les additions (1+1)3 remplacé par 23 etc
le terme "+n" à la fin est bien là car 1+1+...+1 n fois est bien égal à n et ce morceau là ne doit pas être oublié !!

ensuite, on simplifie ce qui donne :
le terme 23 à gauche égal au 23 à droite
etc
le (n-1+1)3 à gauche avec le n3 à droite
et restent les seuls termes qui ne se simplifient pas :
(n+1)3 = 13 + [le reste 3*(...)...+n inchangé]

et en remplaçant 1+2+3 +...+n connue par n(n+1)/2 :
(n+1)3 = 1 + 3S + 3n(n+1)/2 + n
d'où on tire S la somme 12+22+32+...+n2 cherchée :

S = \dfrac{1}{3}\left((n+1)^3 - (n+ 1) - \dfrac{3n(n+1)}{2}\right)
le (n +1) au milieu vient du dernier 13 restant et du n = 1+1+...+1 que l'on n'a pas oublié
dans la simplification ensuite du terme entre parenthèses on commencera bien entendu par mettre n+1 en facteur plutôt que de développer comme un sauvage !!

Posté par
fanfan56re : Explication d'un exercice corrigé (suites) 19-06-19 à 17:04

Merci  c'est plus clair ainsi


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