Bonjour

3) Soit n la dimension de L sur K, alors si x est un élément de L la famille (1,x,x²,...,x^n) est liée, c'est à dire qu'il existe un polynôme de degré au plus n qui annule x, donc x est algébrique.

Fractal

1) Par définition (après tout dépend de la définition de ton cours) Frac(A) est le plus petit corps à isomorphisme près qui contienne A, donc si A est un corps, on a évidemment Frac(A)=A.

Fractal

Salut Fractal!
Merci!
Ok pour la 3)

pour la 1) j'ai comme définition Frac(A)=A x (A\{0})
et donc je me demandais à partir de là pourquoi si a est un corps Frac(A)=A...
avec la définition que tu me donnes,ça ne fait aucune doute

Le 2 est un célèbre théorème de Hilbert qui se prouve en examinant les coeff dominants des polynomes (c'est pas tres difficile). La reciproque est vrai bien sur, comme tout sous anneau d'un anneau noethérien, A est noethérien.

Pour le 4) C'est plutot K[a1,...,an] algébrique sur K, et c'est evident (je sais aps ce que tu veux prouver exactement...) Il est clair que K[a1,...,an ] est un sous corps de L contenant K dont tous les elements sont de degré fini.

Pur le reste c'est quoi F?

Salut Rodrigo,
pour la 2) faut que je regarde ça...

pour la 4) F c'est un polynome je crois,un polynome de K[X1,...,Xn]

Ben si L/K est algébrique alors tous ses elements sont algébriques et donc F(a1,...,an) est dans L donc est algébrique.

[K(a1,a2)/K] = [K(a1,a2)/K(a1] [K(a1),/K]  multiplicativité des degrés d'extensions successives (écrit là pour 2 mais pour n  c'est kif kif par récurrence).

Ensuite  K(a1)/K  est finie car  a1 algébrique sur K

K(a1,a2)/K(a1) =  degré du poly minimal de a2 sur  K(a1) =< degré de celui sur K  (parce qu'un polynôme dans K[X] est aussi dans K(a1)[X] ) don ces tfinie. Produit de fini est fini donc l'exo est fini .

(juste une petite question lolo, j'ai vu dans mon cours K(T)/K est une extension, qu'est ce que cela signifie ?)

Ok Merci Rodrigo!
Salut Lolo!!
Et merci de cette belle petite démo

L  est une extension de K veut direz qu'il existe un morphisme d'anneaux de  K dans L .  
K(T) / K  est un extension le morphisme est celui qui à  x  dans K associe le polynôme constant égal à  x .(bref c'est l'inclusion)

Salut tout le monde,

Pour la deux, si ça t'intéresse: Théorème de Hilbert.

Super Schumi!!

Merci.
Mais ça me fait penser que j'ai toujours pas expliqué le truc à Camélia comme je lui avais promis. Faudrait que je prenne un temps dans la journée pour le faire...

Content que ça puisse t'aider.

le morphisme c'est celui de K dans K(T) qui x associe x ??

Je pense que c'est ce qu'a voulu dire lolo. Donc oui.

Je ne comprend pas la notation K(T).

On a K(T)=Frac( K[T] ) non ?

oui les fractions de polynômes c'est les fractions rationnelles par définition