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EXponentiel conjectures
bonjour g un dm a fèr sur lé exponentiels é un pe daide serè la bienvenue
voici le sujet :
fonction f définie sur R par f(x)= (x^2)*(e^(x-1)-x^2/2
parie A :
1° :
calculer f'(x) et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) ac g définie par g(x) = (x+2)*e^(x-1)-1
2° :
a:
limites de g(x) en + et - l'infini
b:
calculer g'(x) et étudier son signe
c :
en déduire le sens de variation de g puis dresser son tableau de variation
d :
montrer que g(x) = 0 possède une unique solution dans R.on note alpha cette solution.montrer que 0,20 inférieur à alpha inférieur à 0,21.
e :
déterminer le signe de g(x)
3° :
a :
étudier le signe de f'(x)
b :
en déduire le sens de variation de f
partie B :
on note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O;i;j)
1° :
montrer que f(alpha)= - alpha^3/2(alpha+2)
2° :
on considère h définie sur [0;1] par h(x)=-x^3/2(x+2)
a:
calculer h'(x) pour x appartenant à [0;1] puis déterminer le sens de variation de h sur [0;1]
b:
en déduire un encadrement de f(alpha)
3°
a :
montreer que e^(x-1)=1/2 admet une solution béta dont on donnera un encadrement à 10^-2 près
b :
déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x)
c :
préciser alors la position de C par rapport à l'axe des abscisses
voila merci d'avance à ceux qui voudront bien s'y pencher surtout sur la partie B
Partie A.
1°)
f(x) : parenthèses non équilibrées, en espérant qu'il s'agit de:
f(x)= (x^2)*(e^(x-1))-x^2/2
f '(x) = 2x.e^(x-1) + x².e^(x-1) - x
f '(x) = (x²+2x).e^(x-1) - x
f '(x) = x(x+2).e^(x-1) - x
f '(x) = x.[(x+2).e^(x-1) - 1]
f '(x) = x.g(x)
-----
2°)
g(x) = (x+2).e^(x-1) - 1
lim(x-> +oo) g(x) = +oo (1)
lim(x-> -oo) g(x) = -1 (2)
g '(x) = e^(x-1) + (x+2).e^(x-1)
g '(x) = (x+3).e^(x-1).
Comme e^(x-1) > 0 quel que soit x, g '(x) a le signe de x + 3
g '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; -3[ -> g(x) est décroissante. (3)
g '(x) = 0 pou x = -3
g '(x) > 0 pour x dans ]-3 ; oo[ -> g(x) est croissante. (4)
Il y a un minimum de g(x) en x = -3, ce min est négatif (5)
g (x) est continue sur R et avec (2) et (3), il n'y a pas de valeur de x dans ]-oo ; -3[ annulant g(x).
g (x) est continue sur R et avec (5), (4) et (1), on conclut qu'il y a une et une seule valeur de x dans ]-3 ; oo[ pour laquelle g(x) = 0, soit alpha cette valeur.
g(0,20) = -0.01... < 0
g(0,21) = 0,002... > 0
Et donc 0,20 < alpha < 0,21
On a alors:
g(x) < 0 pour x dans ]-oo ; alpha[
g(x) = 0 pour x = alpha
g(x) > 0 pour x dans ]alpha ; oo[
-----
3°
f '(x) = x.g(x)
->
f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; alpha[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = alpha
f '(x) > 0 pour x dans ]alpha ; oo[ -> f(x) est croissante.
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Suite pour un autre volontaire... ou mieux essaie.
Sauf distraction. 
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