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::::exponentielle:::::::::

Posté par
H_aldnoer 05-04-05 à 22:53

slt a tous


alors voila ce que j'étais en train de me demander :

en cours on a dit que 5$e^{i\alpha}=\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)

mais cela sans pour autant faire de demonstration !

comment demontre t on cela ??

merci a ceux qui pourront m'aider ?

Posté par
Nightmarere : ::::exponentielle::::::::: 05-04-05 à 23:02

Bonjour

Utilises les formules d'euler :
cos(\alpha)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
sin(\alpha)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
donc
cos(\alpha)+isin(\alpha)=...


Jord

Posté par
H_aldnoerre : ::::exponentielle::::::::: 05-04-05 à 23:13

alors la ok


et ... comment démontre t on les formules d'Euler ??

Posté par
Nightmarere : ::::exponentielle::::::::: 05-04-05 à 23:17

en fait , c'est l'inverse pardonne moi , c'est les formules d'euler qui sont tirés de la formule e^{ix}=cos(x)+isin(x) .
Cette derniére ce démontre grace au développement en série de taylor de l'exponentielle


Jord

Posté par
Nightmarere : ::::exponentielle::::::::: 05-04-05 à 23:38

Voici la démonstration si elle t'interresse :

3$\rm e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...
\Longleftrightarrow
3$\rm e^x= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

cette égalité s'étendant à tout complexe x , on peut écrire :
3$\rm \begin{tabular}e^{ix} &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{{(ix)}^n}{n!}\\&=& \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n x^n}{n!}\\&=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} i^n\end{tabular}

Nous pouvons regrouper les termes pour obtenir :
3$\rm e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^{4n}}{(4n)!} i^{\,4n}+ \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i^{\,4n+1}+ \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} i^{\,4n+2}+ \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i^{\,4n+3}\)

On peut simplifier tout ça en sachant que pour tout entier n :
3$\rm i^{\,4n} = 1, \qquad
3$\rm i^{\,4n+1} = i, \qquad
3$\rm i^{\,4n+2} = -1, \qquad
3$\rm i^{\,4n+3} = -i

et obtenir :
3$\rm e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^{4n}}{(4n)!} + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} i- \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}- \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} i\right)

Les series étant absolument convergentes on peut séparer la somme en deux et obtenir alors :
3$\rm e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^{4n}}{(4n)!}- \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}\right)+i\,\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}- \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}\right)

----------------------------

Nous savons à présent que :
3$\blue\rm\begin{tabular}\cos x &=& 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... \\&=& \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^{4n}}{(4n)!}- \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}\right)\end{tabular}
3$\rm\blue\begin{tabular}\sin x &=& x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... \\&=& \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!}- \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!}\right)\end{tabular}

----------------------------

En remplacant alors dans le formule de e^{ix} , on obtient bien :
4$\rm\red\fbox{e^{ix}=cos(x)+i.sin(x)}


Jord


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