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Exponentielle

Posté par
Nulenmaths14
25-01-20 à 16:14

Alors voila j'ai un devoir en maths et je bloque sur une question :
On s'intéresse à la croissance d'une certaine ville depuis le 1er janvier 2010. On modélise l'évolution de la population de cette ville par une fonction f dont l'expression est de la forme :
F(x) = a / ( 1 + be^(-0,05x) )
Pour tout réel x de [0,+ infini [
A et b sont des constantes réelles positives et f(x) est le nombre d'habitants, en centaines de milliers, au 1er janvier de l'année 2010+x
Question : en 2010 la ville comptait 100 000 habitants et on prévoit que le nombre d'habitants tend vers une valeur limite de 300 000 habitants. Montrer que a=3 et b=2
Merci a ceux qui aurons la gentillesse de m'aider

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 16:20

Bonjour,

Citation :
f(x) est le nombre d'habitants, en centaines de milliers, au 1er janvier de l'année 2010+x
Donc, par quoi remplacer x pour obtenir le nombre d'habitants au 1er janvier de l'année 2010 ?

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 16:23

Par 100 000

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 16:29

Si tu remplaces x par 10 000, tu auras la population en 2010+100 000 , c'est à dire en 102 010.
Qui sait s'il y aura alors encore des populations quelque part sur la terre ?

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 16:32

Ahh je viens de comprendre alors 0? Puisque qu'on reste en 2010

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 16:39

Mais oui \;

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 16:41

Donc j'aurais f(0) = a / 1+b

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 16:45

Avec des parenthèses : f(0) = a / (1+b)

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 17:05

D'accord mais apres?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 17:09

A quoi était égal le nombre d'habitants au 1er janvier de l'année 2010 d'après l'énoncé ?

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 17:17

100000

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 17:40

Citation :
par quoi remplacer x pour obtenir le nombre d'habitants au 1er janvier de l'année 2010 ?
Tu as trouvé 0.
Puis f(0) = a / (1+b).

Fais le lien avec
Citation :
A quoi était égal le nombre d'habitants au 1er janvier de l'année 2010 d'après l'énoncé ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 17:41

Et donc avec 100 000.

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 17:54

Ah bah le nbr dhab est egale a 2010+x donc 2010?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 18:00

Pas de style SMS, s'il te plait.

Pour obtenir le nombre d'habitants en 2010, tu as écrit ceci :
f(0) = a / (1+b)

D'après l'énoncé "en 2010 la ville comptait 100 000 habitants"

Quelle égalité peut-on en déduire ?

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 18:01

Je suis désolé !!
a/(1+b) = 100000

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 18:06

C'est ta première équation pour trouver a et b.

A l'attaque pour l'autre :

Citation :
le nombre d'habitants tend vers une valeur limite de 300 000 habitants.
A traduire par la limite de f en +.

Pour la trouver, commence par la limite de \; e-0,05x .

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 18:14

La limite de l'exponentielle c'est + infini ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 18:19

Tu vas trop vite, commence par la limite de \; -0,05x \; quand x tend vers +.

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 18:21

- infinie

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 18:27

Quelle est la limite de la fonction exponentielle en \; - \; ?

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 18:51

-infini

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 19:05

Non, ouvre ton cours.

Posté par
PLSVU
re : Exponentielle 25-01-20 à 19:20

Bonsoir ,
a/(1+b) = 100000  

f(x) est le nombre d'habitants, en centaines de milliers

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 19:28

Aïe
Merci PLSVU pour ton intervention pertinente !
Je ne vais plus être disponible pendant le dîner...

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 20:00

Aaah bah 0 ! >.<

Posté par
PLSVU
re : Exponentielle 25-01-20 à 21:12

ce n'est pas 0
  100000 ( mal écrit)
sépare les classes   des unités  simples ,  des miliiers pour écrire correctement le nombre
  et lis  le   .

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 21:33

Je m'excuse mais je ne comprend pas? On en etais a la limite pourquoi on parle de 100 000?

Posté par
PLSVU
re : Exponentielle 25-01-20 à 21:38

  je te signalais que  l'égalité  que tu as donnée est fausse
car f(x) est le nombre d'habitants, en centaines de milliers
a/(1+b) = 100000   c'est faux
commence par corriger afin de pouvoir répondre à la première question  .

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 21:54

100 000? Les trois premier c ds la classe de mille et les trois dernier des classe simple ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 22:11

Citation :
le nombre d'habitants, en centaines de milliers

Avec 100 000, ça donne 1.
Avec 700 000, ça donnerait 7.
Avec 1 500 000, ça donnerait 15.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 25-01-20 à 22:12

Je reviendrai demain matin.

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 25-01-20 à 22:24

Je voiis donc a/(b+1) = 1 !
D'accord bonne soirée et mercii

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 26-01-20 à 09:55

Bonjour,
Petite récapitulation :
"en 2010 la ville comptait 100 000 habitants" se traduit par f(0) = 1.
Ce qui donne a/(b+1) = 1
D'où a = b+1 .

"le nombre d'habitants tend vers une valeur limite de 300 000 habitants" se traduit par
la limite de f en + est égale à 3.

Tu en es à chercher la limite de a / ( 1 + be-0,05x ) en +.

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 26-01-20 à 10:40

Ok donc la limite de l'exponentielle c'est 0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 26-01-20 à 11:08

Oui, quand x tend vers + :
-0,05x tend vers -
donc e-0,05x tend vers 0. Car la limite de la fonction exponentielle en - est égale à 0.

Tu peux en déduire la limite de \; a / ( 1 + be-0,05x ) en + .

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 26-01-20 à 11:30

+ infinie parce que a est positif, et le dénominateur c'est sur 0

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 26-01-20 à 11:30

1*

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 26-01-20 à 11:39

Non.
Quand x tend vers +,
e-0,05x \; tend vers 0.
Donc \; be-0,05x \; tend vers ...
Donc \; 1+be-0,05x \; tend vers ...
Donc \; a / ( 1 + be-0,05x ) \; tend vers ...

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 26-01-20 à 12:07

Tend vers 0
Tend vers 1
Tend vers a/1?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 26-01-20 à 12:25

a/1 = ?

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 26-01-20 à 12:26

a

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 26-01-20 à 12:28

Bon, la limite de f en + est trouvée.
Tu peux en déduire une égalité avec a.

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 26-01-20 à 12:36

limite de f en + Infinie de f(x) = a = b+1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 26-01-20 à 13:32

Citation :
"le nombre d'habitants tend vers une valeur limite de 300 000 habitants" se traduit par
la limite de f en + est égale à 3.

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 26-01-20 à 15:00

Ah bah a= 3

Posté par
Nulenmaths14
re : Exponentielle 26-01-20 à 15:00

Aahh bah on sais que a=3 on remplace a par 3 dans l'équation et on a b!! Mercii

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 26-01-20 à 18:34

Une remarque pour finir :
Il est possible de traiter la suite de l'exercice même si on ne réussit pas à démontrer a et b égaux à 3 et 2.

N'hésite pas à poser d'autres questions si tu as des difficultés pour continuer.



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